Принципы полноты вещественных чисел: Дедекинд, Вейерштрасс и Кантор; связь с аксиомой Архимеда

Полноту вещественных чисел можно формулировать несколькими равносильными способами. Принцип Дедекинда утверждает: если \(\mathbb{R}=A\cup B\) — разбиение на два непустых множества и каждый элемент \(A\) меньше каждого элемента \(B\), то сечение проходит по вещественному числу: либо в \(A\) есть наибольший элемент, либо в \(B\) есть наименьший.² Эквивалентная форма полноты говорит, что любые два непустых множества, одно из которых лежит левее другого, можно разделить числом \(c\).^{1, 2}

Принцип Вейерштрасса утверждает существование \(\sup A\) и \(\inf A\) у непустых множеств, ограниченных соответственно сверху и снизу. Принцип Кантора гарантирует общую точку всякой последовательности вложенных замкнутых отрезков.^{1, 2} Архимедово свойство гласит: для любого \(a\in \mathbb{R}\) найдётся \(n\in \mathbb{N}\) такое, что \(n\gt a\). Оно следует из принципа Вейерштрасса.¹

Что важно запомнить

Принцип Дедекинда выражает полноту через сечение вещественной прямой.
Эквивалентная форма через разделяющее число утверждает существование \(c\) между двумя непустыми множествами, одно из которых лежит левее другого.
Принцип Вейерштрасса выражает полноту через существование точных граней.
Принцип Кантора выражает полноту через общую точку вложенных замкнутых отрезков.
Стремление длин вложенных отрезков к нулю нужно для единственности общей точки, а не для её существования.
Архимедово свойство следует из полноты Вейерштрасса и не заменяет собой принцип полноты.

Принцип Дедекинда

Пусть \(\mathbb{R}=A\cup B\), где \(A\) и \(B\) непусты, не пересекаются и каждый элемент \(A\) меньше каждого элемента \(B\). Тогда сечение проходит по некоторому вещественному числу: либо в \(A\) существует наибольший элемент \(c\), либо в \(B\) существует наименьший элемент \(c\).²

В конспекте Бегунца–Шапошникова используется удобная эквивалентная форма. Если \(A\) и \(B\) — непустые подмножества \(\mathbb{R}\) и \(a\le b\) для любых \(a\in A\) и \(b\in B\), то существует \(c\in \mathbb{R}\) такое, что \(a\le c\le b\) для всех \(a\in A\) и \(b\in B\). Число \(c\) разделяет \(A\) и \(B\).^{1, 2}

Принцип Вейерштрасса

Всякое непустое множество \(A\subset \mathbb{R}\), ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань \(\sup A\). Непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань \(\inf A\).^{1, 2}

Если \(B\) — множество всех верхних граней \(A\), то \(A\) лежит левее \(B\). Разделяющее их число \(c\) является верхней гранью \(A\) и не превосходит никакой другой верхней грани. Поэтому \(c=\sup A\).¹

Принцип Кантора

Если \([a_{1},b_{1}]\supseteq [a_{2},b_{2}]\supseteq \ldots \) — последовательность непустых вложенных замкнутых отрезков, то существует число \(c\), принадлежащее каждому из них.^{1, 2} Если дополнительно для любого \(\varepsilon \gt 0\) среди этих отрезков есть отрезок длины меньше \(\varepsilon \), общая точка единственна.

Для существования общей точки достаточно рассмотреть множества всех левых и всех правых концов. Каждый левый конец не превосходит каждого правого, поэтому полнота даёт число \(c\) с \(a_{n}\le c\le b_{n}\) для любого \(n\).^{1, 2}

Архимедово свойство

Для всякого \(a\in \mathbb{R}\) существует натуральное \(n\) такое, что \(n\gt a\).¹ Если бы \(\mathbb{N}\) было ограничено сверху, существовало бы \(A=\sup \mathbb{N}\). Число \(A-1\) не является верхней гранью, поэтому найдётся \(n\in \mathbb{N}\) с \(n\gt A-1\). Тогда \(n+1\gt A\), хотя \(n+1\in \mathbb{N}\). Это противоречит тому, что \(A\) — верхняя грань \(\mathbb{N}\).¹

В вещественных числах принципы Дедекинда, Вейерштрасса и Кантора являются равносильными формами полноты. Архимедово свойство следует из полноты, но само по себе её не заменяет.

Частые ошибки

Смешение точной верхней грани с максимумом. Точная верхняя грань может не принадлежать множеству.
Требование стремления длин вложенных отрезков к нулю уже для существования общей точки. Это условие нужно только для единственности.
Представление архимедова свойства как полной замены принципа полноты \(\mathbb{R}\). Оно является следствием полноты.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 12–14.
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 31–35. Принцип непрерывности Дедекинда, Вейерштрасса и теорема Кантора о вложенных отрезках.