Лемма о вложенных отрезках и её применения

Если \(I_{n}=[a_{n},b_{n}]\) — последовательность непустых замкнутых отрезков и \(I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots \) , то существует точка \(c\), принадлежащая всем \(I_{n}\).^{1, 2} Если дополнительно длины \(b_{n}-a_{n}\) стремятся к нулю, такая общая точка единственна. Лемма является одним из основных следствий полноты \(\mathbb{R}\) и используется в доказательствах существования пределов, корней и в методах последовательного сужения интервала.¹

Что важно запомнить

Условие: вложенные именно замкнутые непустые отрезки.¹
Непустота общего пересечения не требует \(b_{n}-a_{n}\to 0\); это условие нужно для единственности точки.
Доказательство опирается на полноту \(\mathbb{R}: \sup \{a_{n}\}\le \inf \{b_{n}\}\).^{1, 2}
Для открытых интервалов утверждение в такой форме неверно.
Метод половинного деления — типичное применение принципа вложенных отрезков.

Формулировка

Пусть \(I_{n}=[a_{n},b_{n}]\) и \(I_{n+1}\subseteq I_{n}\). Тогда \(a_{n}\) не убывает, \(b_{n}\) не возрастает и для любых \(m,n\) выполняется \(a_{n}\le b_{m}\). Это следует из вложенности отрезков.¹

Доказательство существования общей точки

Рассмотрим множество \(A=\{a_{n}:n\in \mathbb{N}\}\). Оно непусто и ограничено сверху каждым \(b_{m}\). По полноте \(\mathbb{R}\) существует \(c=\sup A\).^{1, 2} Для каждого \(n\) имеем \(a_{n}\le c\). Кроме того, \(b_{n}\) является верхней гранью \(A\), поэтому \(c\le b_{n}\). Следовательно, \(a_{n}\le c\le b_{n}\) для каждого \(n\), то есть \(c\in I_{n}\) для всех \(n\). Пересечение всех вложенных отрезков непусто.¹

Когда общая точка единственна

Пусть дополнительно \(b_{n}-a_{n}\to 0\). Если существуют две общие точки \(c\) и \(d\), причём \(c\lt d\), то для каждого \(n\) выполняется \(0\lt d-c\le b_{n}-a_{n}\). Правая часть стремится к нулю, что невозможно для положительного числа \(d-c\). Значит, общая точка единственна.^{1, 2}

Применения

Метод половинного деления использует вложенные отрезки для последовательного сужения интервала, содержащего корень непрерывной функции. Лемма также применяется в конструкциях, где существование объекта получают последовательным уточнением, и служит базовым инструментом в доказательствах других результатов анализа.¹

Важно различать два утверждения. Вложенность замкнутых непустых отрезков гарантирует существование хотя бы одной общей точки. Стремление длин к нулю дополнительно гарантирует её единственность.

Пример простыми словами

Возьмём \(I_{n}=[0,\frac{1}{n}]\). Отрезки вложены, их длины стремятся к нулю, и единственная общая точка — \(0\). А для \(I_{n}=[0,1]\) все отрезки тоже вложены, но длина не уменьшается, поэтому общих точек бесконечно много.

Частые ошибки

Требовать стремления длины к нулю уже для существования общей точки.
Забывать замкнутость отрезков: интервалы \((0,\frac{1}{n})\) имеют пустое общее пересечение.
Использовать монотонность \(a_{n}\) и \(b_{n}\) без объяснения, что она следует из вложенности.
Писать \(c=\max \{a_{n}\}\): максимум может не существовать; нужен supremum.

Другие вопросы

Источники

1 Зорич В. А. Математический анализ Часть I. 10-е, исправленное изд. М.: МЦНМО, 2019 г. Гл. II, § 3.
2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа Т. 1. 6-е изд. М.: Юрайт, 2023 г.