Лемма Бореля—Лебега о конечном покрытии отрезка

Лемма Бореля—Лебега: из любого покрытия замкнутого отрезка \([a,b]\) открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.^{1, 2} Это фундаментальное проявление компактности отрезка в \(\mathbb{R}\) и одно из следствий полноты вещественных чисел.

Что важно запомнить

Исходное покрытие может быть бесконечным и даже несчётным.
Покрывающие множества должны быть открытыми (в классической формулировке — интервалами/окрестностями).¹
Вывод: существует конечное число элементов исходного покрытия, всё ещё покрывающих весь \([a,b]\).
Доказательство удобно вести от противного с помощью последовательности вложенных половинок.^{1, 2}
Теорема относится к замкнутому ограниченному отрезку; для всей \(\mathbb{R}\) утверждение неверно.

Формулировка

Пусть система открытых интервалов \(\{U\alpha \}\) покрывает замкнутый отрезок \([a,b]\). Лемма Бореля—Лебега утверждает, что из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.^{1, 2}

Доказательство

Предположим, что конечного подпокрытия нет. Разделим \([a,b]\) пополам. Если обе половины допускали бы конечные подпокрытия, объединение этих двух конечных наборов покрывало бы весь \([a,b]\). Значит, по крайней мере одна половина также не допускает конечного подпокрытия. Обозначим её \(I_{2}\). Повторяя процесс, получаем вложенные отрезки \(I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots \) . Каждый \(I_{n}\) не допускает конечного покрытия элементами исходной системы, а его длина после \(n-1\) делений равна \(\frac{(b-a)}{2^{n-1}}\) и стремится к нулю.^{1, 2}

По лемме о вложенных отрезках существует единственная точка \(c\), принадлежащая всем \(I_{n}\). Так как исходная система покрывает \([a,b]\), найдётся открытый интервал \(U\) из покрытия, содержащий \(c\). Поскольку \(U\) открыт, существует \(\varepsilon \gt 0\) такое, что \((c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\subset U\).¹

Длины \(I_{n}\) стремятся к нулю и \(c\in I_{n}\), поэтому при достаточно большом \(n\) весь \(I_{n}\) лежит внутри \((c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\), а значит внутри \(U\). Тогда \(I_{n}\) покрывается одним элементом исходной системы и имеет конечное подпокрытие. Получено противоречие. Следовательно, конечное подпокрытие \([a,b]\) существует.^{1, 2}

Зачем нужна открытость покрытия

Открытость \(U\) позволяет вместе с точкой \(c\) получить целую окрестность \((c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\), которая при достаточно большом \(n\) содержит весь малый отрезок \(I_{n}\). Именно этот шаг завершает доказательство.

Лемма Бореля—Лебега является фундаментальным проявлением компактности отрезка в \(\mathbb{R}\) и используется далее при доказательстве равномерной непрерывности, ограниченности и достижения экстремумов непрерывных функций.

Пример простыми словами

Рассмотрим открытое покрытие отрезка \([0,1]\): для каждой точки \(x\in [0,1]\) возьмём интервал \(U_{x}=(x-0{,}1; x+0{,}1)\). В таком покрытии несчётно много интервалов. Однако уже \(11\) интервалов с центрами \(0; 0{,}1; 0{,}2; \ldots ; 1\) покрывают весь \([0,1]\). Лемма Бореля—Лебега утверждает, что конечное подпокрытие найдётся для любого открытого покрытия отрезка, даже если оно устроено гораздо менее регулярно.

Частые ошибки

Формулировать теорему для произвольного ограниченного множества без условий компактности.
Заменять открытое покрытие набором закрытых множеств и считать формулировку неизменной.
В доказательстве забывать объяснить, почему одна из половин не имеет конечного подпокрытия.
Использовать общую точку вложенных отрезков, но не использовать открытость \(U\) для получения целой окрестности.

Другие вопросы

Источники

1 Зорич В. А. Математический анализ Часть I. 10-е, исправленное изд. М.: МЦНМО, 2019 г. Гл. II, § 3.
2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа Т. 1. 6-е изд. М.: Юрайт, 2023 г.