Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Для положительных чисел \(x_{1},\ldots ,x_{n}\) среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:
\[\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})}{n} \ge (x_{1}x_{2}\ldots x_{n})^{\frac{1}{n}}\].1

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}\). Один из доказательных путей использует выпуклость функции \(-\ln x\) и неравенство Йенсена.1

Что важно запомнить
  • Все числа \(x_{1},\ldots ,x_{n}\) положительны.
  • Среднее арифметическое равно \(A=\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})}{n}\).
  • Среднее геометрическое равно \(G=(x_{1}x_{2}\ldots x_{n})^{\frac{1}{n}}\).
  • Всегда выполняется \(A\ge G\).
  • Равенство \(A=G\) возможно тогда и только тогда, когда \(x_{1}=\ldots =x_{n}\).

Пусть \(x_{1},\ldots ,x_{n}\gt 0\). Тогда

\(\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})}{n} \ge (x_{1}x_{2}\ldots x_{n})^{\frac{1}{n}}\). 1

Левая часть называется средним арифметическим. Правая часть — среднее геометрическое, то есть корень \(n\)-й степени из произведения \(x_{1}\ldots x_{n}\).

Доказательство через выпуклость

Для \(f(x)=-\ln x\) имеем \(f''(x)=\frac{1}{x^{2}}\gt 0\) при \(x\gt 0\), поэтому функция строго выпукла. Неравенство Йенсена для выпуклой функции при одинаковых весах имеет вид

\[f(\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})}{n}) \le \frac{(f(x_{1})+\ldots +f(x_{n}))}{n}\].

Подставляя \(f(x)=-\ln x\), получаем

\[-\ln (\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})}{n}) \le -\frac{(\ln x_{1}+\ldots +\ln x_{n})}{n}\].

После умножения на \(-1\) имеем

\[\ln (\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})}{n}) \ge (\frac{1}{n})\ln (x_{1}x_{2}\ldots x_{n})=\ln ((x_{1}x_{2}\ldots x_{n})^{\frac{1}{n}})\].

Логарифм строго возрастает, поэтому среднее арифметическое не меньше среднего геометрического.1

Случай равенства

Из строгой выпуклости следует, что равенство в неравенстве Йенсена достигается тогда и только тогда, когда \(x_{1}=\ldots =x_{n}\).1

Пример простыми словами

Для \(x_{1}=1\) и \(x_{2}=4\) среднее арифметическое равно \(2{,}5\), а среднее геометрическое равно \(2\). Получаем \(2{,}5\ge 2\). Равенства нет, потому что числа различны.

Частые ошибки
  • Применение формулы среднего геометрического без условия \(x_{i}\gt 0\).
  • Переворот направления неравенства: среднее арифметическое должно быть не меньше среднего геометрического.
  • Пропуск условия равенства \(x_{1}=\ldots =x_{n}\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 47.