Внутренние, внешние, граничные и предельные точки множества. Замыкание множества

Внутренняя точка множества \(A\) входит в \(A\) вместе с некоторой своей окрестностью. Внешняя точка имеет окрестность, не пересекающую \(A\). Граничная точка такова, что каждая её окрестность встречает и \(A\), и дополнение к \(A\). Предельная точка \(a\) характеризуется тем, что каждая проколотая окрестность \(a\) содержит точку \(A\).^{1, 2}

Замыкание \(A\) — множество \(A\) вместе со всеми его предельными точками: \(\overline{A}=A\cup A'\). Эквивалентно, \(x\in \overline{A}\) тогда и только тогда, когда каждая окрестность \(x\) пересекает \(A\).^{1, 2}

Что важно запомнить

Внутренняя точка имеет окрестность, целиком лежащую в \(A\).
Внешняя точка имеет окрестность, не пересекающую \(A\).
В каждой окрестности граничной точки есть точки \(A\) и точки \(\mathbb{R}\setminus A\).
Для предельной точки важна проколотая окрестность. Сама точка может не принадлежать \(A\).
Граничная и предельная точки — разные понятия.
Замыкание равно \(\overline{A}=A\cup A'\) и содержит также изолированные точки самого \(A\).

Внутренние и внешние точки

Точка \(a\) называется внутренней для \(A\subset \mathbb{R}\), если существует окрестность \(U(a)\), целиком содержащаяся в \(A\). Точка \(a\) называется внешней, если существует окрестность \(U(a)\), для которой \(U(a)\cap A=\varnothing \).^{1, 2}

Граничные точки

Точка \(a\) является граничной для \(A\), если любая её окрестность содержит как точки \(A\), так и точки дополнения \(\mathbb{R}\setminus A\). Граничная точка может принадлежать \(A\), а может не принадлежать ему. Например, единственная точка одноточечного множества \(\{a\}\) является граничной.^{1, 2}

Предельные точки

Точка \(a\) называется предельной для \(A\), если каждая проколотая окрестность \(U(a)\setminus \{a\}\) содержит хотя бы одну точку \(A\). На числовой прямой это равносильно тому, что в каждой обычной окрестности \(a\) находится бесконечно много точек \(A\).^{1, 2}

Предельная точка не обязана принадлежать \(A\). Если \(a\in A\), но существует окрестность, в которой других точек \(A\) нет, то \(a\) является изолированной точкой и не является предельной. Поэтому граничная точка не обязательно предельная. Для множества \(\{a\}\) точка \(a\) граничная, но изолированная.²

Замыкание множества

Обозначим через \(A'\) множество всех предельных точек \(A\). Замыкание \(A\) равно \(\overline{A}=A\cup A'\). Эквивалентно, \(x\in \overline{A}\) тогда и только тогда, когда каждая окрестность \(x\) имеет непустое пересечение с \(A\). Таким образом, чтобы получить замыкание, к \(A\) добавляют все его предельные точки.

Пример простыми словами

Пусть \(A=(0,1]\). Внутренние точки образуют \((0,1)\). Точки \(0\) и \(1\) являются граничными. Внешние точки лежат вне \([0,1]\). Все точки отрезка \([0,1]\) являются предельными для \(A\), поэтому \(\overline{A}=[0,1]\).

Частые ошибки

Предположение, что граничная точка обязательно принадлежит множеству.
Отождествление граничных и предельных точек. Одноточечное множество даёт простой контрпример.
Проверка предельной точки по обычной, а не по проколотой окрестности.
Смешение замыкания \(A\) с производным множеством \(A'\). Замыкание содержит и все точки самого \(A\).

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 20–22.
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. Раздел о точечных множествах на числовой прямой, с. 38–40.