Множество \(G\subset \mathbb{R}\) называется открытым, если каждая его точка входит в \(G\) вместе с некоторой окрестностью. Множество \(F\) называется замкнутым, если его дополнение \(\mathbb{R}\setminus F\)
Произвольное объединение открытых множеств открыто, а пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Произвольное пересечение замкнутых множеств замкнуто, а объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Для \(A\subset \mathbb{R}\) замкнутость равносильна тому, что \(A\) содержит все свои предельные
Что важно запомнить
- Открытое множество содержит некоторую окрестность каждой своей точки.
- Множество \(F\) замкнуто тогда и только тогда, когда \(\mathbb{R}\setminus F\) открыто.
- Произвольное объединение открытых множеств открыто.
- Только конечное пересечение открытых множеств обязательно открыто.
- Произвольное пересечение замкнутых множеств замкнуто.
- Только конечное объединение замкнутых множеств обязательно замкнуто.
- Множества \(\varnothing \) и \(\mathbb{R}\) одновременно открыты и замкнуты.
Определения
Множество \(G\subset \mathbb{R}\) называется открытым, если для каждого \(x\in G\) существует окрестность \(U(x)\), такая что \(U(x)\subset G\). Иными словами, все точки открытого множества внутренние. Множество \(F\) называется замкнутым, если его дополнение \(\mathbb{R}\setminus F\)
Пустое множество и вся числовая прямая одновременно открыты и замкнуты. Интервал \((a,b)\) открыт, а отрезок \([a,b]\)
Операции над открытыми множествами
Объединение произвольного семейства открытых множеств открыто. Если \(x\) принадлежит объединению, то \(x\) лежит хотя бы в одном открытом множестве семейства и вместе с некоторой окрестностью остаётся внутри
Пересечение конечного числа открытых множеств также открыто. Для общей точки можно взять минимальный из конечного набора радиусов окрестностей. Для бесконечного пересечения утверждение уже неверно. Например, \(\bigcap_{n=1}^{\infty }(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}\), а одноточечное множество не открыто в \(\mathbb{R}\).
Свойства замкнутых множеств
По формулам де Моргана из свойств открытых множеств следует, что произвольное пересечение замкнутых множеств замкнуто, а конечное объединение замкнутых множеств
Для \(A\subset \mathbb{R}\) равносильны следующие условия: \(A\) замкнуто; \(A\) содержит все свои граничные точки; \(A\) содержит все свои предельные точки; всякая сходящаяся последовательность элементов \(A\) имеет предел, принадлежащий
Пример простыми словами
Множество \((0,1)\) открыто, но не замкнуто: точки \(0\) и \(1\) являются его предельными точками и не входят в него. Отрезок \([0,1]\) замкнут. Полуинтервал \([0,1)\) не является ни открытым, ни замкнутым в \(\mathbb{R}\).
Частые ошибки
- Распространение свойства конечного пересечения открытых множеств на произвольное пересечение.
- Распространение свойства конечного объединения замкнутых множеств на произвольное объединение.
- Смешение замкнутости с ограниченностью.
- Утверждение, что множество не может быть одновременно открытым и замкнутым. \(\varnothing \) и \(\mathbb{R}\) обладают обоими свойствами.
