Окрестность конечной точки \(a\) — любой открытый интервал, содержащий \(a\). Стандартная симметричная окрестность радиуса \(r\gt 0\) имеет вид \(U_{r}(a)=(a-r,a+r)\), а проколотая окрестность
Для подхода слева и справа используют односторонние проколотые окрестности \(U_{r}^{-}(a)=(a-r,a)\) и \(U_{r}^{+}(a)=(a,a+r)\). Окрестности \(+\infty \) имеют вид \((\alpha ,+\infty )\), а окрестности \(-\infty \) —
Что важно запомнить
- Симметричная окрестность точки имеет вид \(U_{r}(a)=(a-r,a+r)\), где \(r\gt 0\).
- Проколотая окрестность равна \(U_{r}^{0}(a)=U_{r}(a)\setminus \{a\}\).
- Левая односторонняя проколотая окрестность имеет вид \(U_{r}^{-}(a)=(a-r,a)\).
- Правая односторонняя проколотая окрестность имеет вид \(U_{r}^{+}(a)=(a,a+r)\).
- Окрестность \(+\infty \) задаётся лучом \((\alpha ,+\infty )\).
- Окрестность \(-\infty \) задаётся лучом \((-\infty ,\beta )\).
- Символы \(+\infty \) и \(-\infty \) не являются обычными вещественными точками.
Окрестность конечной точки
Окрестностью точки \(a\in \mathbb{R}\) называют любой открытый интервал, содержащий \(a\). Внутри него всегда можно выбрать симметричную окрестность \(U_{r}(a)=(a-r,a+r)\), где
Проколотая и односторонние окрестности
Проколотая окрестность получается удалением самой точки \(a: U_{r}^{0}(a)=U_{r}(a)\setminus \{a\}=(a-r,a)\cup (a,a+r)\). Она используется в определениях предельной точки и предела функции, где значение непосредственно в \(a\) не должно влиять на
При подходе только с одной стороны используют левую окрестность \(U_{r}^{-}(a)=(a-r,a)\) и правую \(U_{r}^{+}(a)=(a,a+r)\). Первая описывает подход слева, вторая —
Окрестности бесконечности
Окрестностью \(+\infty \) называют любой луч \((\alpha ,+\infty )\), а окрестностью \(-\infty \) — любой луч Символы \(\pm \infty \) при этом не становятся элементами \(\mathbb{R}\). Это специальные обозначения для описания поведения при \(x\to +\infty \) и \(x\to -\infty \).
Пример простыми словами
Пусть \(a=2\) и \(r=1\). Тогда \(U_{r}(2)=(1,3)\), проколотая окрестность равна \((1,2)\cup (2,3)\), левая односторонняя окрестность — \((1,2)\), а правая — \((2,3)\).
Частые ошибки
- Включение точки \(a\) в проколотую окрестность.
- Перестановка левой и правой односторонних окрестностей.
- Рассмотрение \(+\infty \) или \(-\infty \) как обычных вещественных точек и попытка задать для них окрестность вида \((a-r,a+r)\).
