Теорема Бэра о счётном покрытии числовой прямой замкнутыми множествами

Теорема Бэра в форме для числовой прямой утверждает: если \(\mathbb{R}\) представлена как объединение не более чем счётного семейства замкнутых множеств \(F_{1},F_{2},\ldots \), то хотя бы одно \(F_{n}\) содержит непустой интервал.1

Эквивалентно, числовую прямую нельзя покрыть счётным семейством замкнутых множеств, каждое из которых имеет пустую внутренность. Доказательство строится с помощью вложенных отрезков, последовательно выбранных вне \(F_{1},F_{2},\ldots \) .1

Что важно запомнить
  • Все множества \(F_{n}\) в формулировке замкнуты.
  • Семейство замкнутых множеств конечно или счётно.
  • Хотя бы одно \(F_{n}\) обязательно содержит непустой интервал.
  • В доказательстве строятся вложенные отрезки \(I_{n}\), причём \(I_{n}\cap F_{n}=\varnothing \).
  • Общая точка всех \(I_{n}\) не принадлежит ни одному \(F_{n}\), что противоречит покрытию \(\mathbb{R}\).

Формулировка

Пусть \(\mathbb{R}=F_{1}\cup F_{2}\cup \ldots \) , где каждое \(F_{n}\) замкнуто. Тогда хотя бы одно из множеств \(F_{n}\) содержит непустой интервал.1

Для замкнутого множества отсутствие интервала равносильно пустой внутренности. Поэтому теорему можно читать так: \(\mathbb{R}\) нельзя представить как счётное объединение замкнутых множеств с пустой внутренностью.

Доказательство

Предположим противное: ни одно \(F_{n}\) не содержит интервала. Тогда внутренность \(F_{1}\) пуста. Поскольку \(F_{1}\) замкнуто, дополнение \(\mathbb{R}\setminus F_{1}\) открыто, а из пустой внутренности \(F_{1}\) следует, что это дополнение непусто. В нём можно выбрать невырожденный замкнутый отрезок \(I_{1}\), не пересекающий \(F_{1}\).1

Интервал внутри \(I_{1}\) не может целиком содержаться в \(F_{2}\). Поэтому его пересечение с \(\mathbb{R}\setminus F_{2}\) открыто и непусто. Внутри этого пересечения выбираем невырожденный замкнутый отрезок \(I_{2}\subset I_{1}\), не пересекающий \(F_{2}\). Продолжая процесс, получаем \(I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots \) и \(I_{n}\cap F_{n}=\varnothing \) для каждого \(n\).1

По принципу вложенных отрезков существует точка \(c\), принадлежащая всем \(I_{n}\). Так как \(c\in I_{n}\) и \(I_{n}\cap F_{n}=\varnothing \), точка \(c\) не принадлежит ни одному \(F_{n}\). Это противоречит равенству \(\mathbb{R}=\cup F_{n}\).1

Следствие

Из теоремы Бэра следует несчётность \(\mathbb{R}\). Если бы \(\mathbb{R}\) было не более чем счётным, его можно было бы представить как счётное объединение одноточечных замкнутых множеств. Ни одно из них не содержит интервала, что противоречит теореме.1

Частые ошибки
  • Смешение счётности семейства с мощностью каждого \(F_{n}\): ограничение относится к числу множеств, а не к числу их элементов.
  • Пропуск условия замкнутости \(F_{n}\).
  • Замена вложенных отрезков произвольной последовательностью точек. Тогда исчезает основание применять принцип Кантора.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 22–23.