Последовательность элементов множества \(A\) — это функция \(\mathbb{N}\to A\). Её значения обозначают \(a_{1},a_{2},\ldots \) . Для числовой последовательности неубывание означает \(a_{n+1}\ge a_{n}\), а невозрастание — \(a_{n+1}\le a_{n}\). Последовательность ограничена, если существует \(C\gt 0\) такое, что \(|a_{n}|\le C\) для всех
Подпоследовательность имеет вид \(a_{n_{1}},a_{n_{2}},\ldots \) , где \(n_{1}\lt n_{2}\lt \ldots \) . Она сохраняет исходный порядок членов, но может пропускать сколько угодно
Что важно запомнить
- Последовательность — функция натурального аргумента.
- Неубывающая последовательность удовлетворяет \(a_{n+1}\ge a_{n}\).
- Невозрастающая последовательность удовлетворяет \(a_{n+1}\le a_{n}\).
- При строгих знаках получают строго возрастающую и строго убывающую последовательности.
- Ограниченность означает существование \(C\gt 0\) с \(|a_{n}|\le C\) для всех \(n\).
- Подпоследовательность задаётся строго возрастающими индексами \(n_{1}\lt n_{2}\lt \ldots \) . Индексы не обязаны идти подряд.
Что такое последовательность
Последовательность элементов множества \(A\) — это функция \(f:\mathbb{N}\to A\). Вместо \(f(n)\) пишут \(a_{n}\), а всю последовательность обозначают \(\{a_{n}\}\). Если \(A=\mathbb{R}\), последовательность называется
Монотонность и ограниченность
Числовая последовательность называется неубывающей, если \(a_{n+1}\ge a_{n}\) для каждого \(n\), и невозрастающей, если \(a_{n+1}\le a_{n}\). При строгих знаках получают строго возрастающую и строго убывающую последовательности. Эти четыре случая относятся к монотонным последовательностям.
Последовательность ограничена, если существует \(C\gt 0\) такое, что \(|a_{n}|\le C\) для всех \(n\). Эквивалентно, существуют числа \(m\) и \(M\), для которых \(m\le a_{n}\le M\) при всех
Подпоследовательность
Выберем строго возрастающие натуральные индексы \(n_{1}\lt n_{2}\lt \ldots \) . Последовательность \(\{a_{n_{k}}\}\) называется подпоследовательностью Требование роста индексов сохраняет исходный порядок членов. При этом между соседними выбранными индексами можно пропускать сколько угодно элементов.
Пример простыми словами
Для \(a_{n}=(-1)^{n}\) последовательность ограничена, но не монотонна. Если взять чётные индексы \(n_{k}=2k\), получим подпоследовательность \(a_{2k}=1\). Для нечётных индексов \(n_{k}=2k-1\) получим \(a_{2k-1}=-1\).
Частые ошибки
- Произвольная перестановка членов исходной последовательности не является подпоследовательностью.
- Индексы подпоследовательности должны строго возрастать, но не обязаны идти подряд.
- Ограниченность и монотонность — разные свойства. Ни одно из них само по себе не влечёт другое.
