Число \(a\) является пределом последовательности \(\{a_{n}\}\), если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что при всех \(n\gt N\) выполняется \(|a_{n}-a|\lt \varepsilon \). Обозначают Эквивалентно, в любой окрестности \(a\) находятся все члены последовательности, кроме, быть может, конечного
Предел последовательности единственен. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность ограничена: её хвост лежит в фиксированной окрестности предела, а конечное число начальных членов можно включить в общую
Что важно запомнить
- \(\varepsilon \)–\(N\) определение имеет вид: \(\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n\gt N\) выполняется \(|a_{n}-a|\lt \varepsilon \).
- Эквивалентно, любая окрестность предела содержит все члены последовательности, кроме конечного числа.
- Число \(N\) может зависеть от \(\varepsilon \), но после выбора работает для всех \(n\gt N\).
- У сходящейся последовательности только один предел.
- Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
- Обратное утверждение неверно: ограниченная последовательность может расходиться.
\(\varepsilon \)–\(N\) определение
Число \(a\) называется пределом последовательности \(\{a_{n}\}\), если
\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n\gt N: |a_{n}-a|\lt \varepsilon \].
Пишут \(\lim a_{n}=a\) или \(a_{n}\to a\) при
Эквивалентная окрестностная формулировка
Условие \(a_{n}\to a\) равносильно следующему: для любой окрестности \(U(a)\) все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа, принадлежат Эта форма подчёркивает, что значение имеют все достаточно поздние члены, а не несколько выбранных элементов.
Единственность предела
Предположим, что \(a\) и \(b\) — два разных предела. Для \(a\ne b\) можно выбрать непересекающиеся окрестности \(U(a)\) и \(U(b)\). По окрестностной формулировке почти все члены последовательности должны принадлежать и \(U(a)\), и \(U(b)\), то есть их пустому пересечению. Это невозможно. Поэтому двух разных пределов быть не
Почему сходящаяся последовательность ограничена
Пусть \(a_{n}\to a\). Возьмём \(\varepsilon =1\). Начиная с некоторого номера \(N\) выполняется \(|a_{n}-a|\lt 1\), откуда \(|a_{n}|\lt |a|+1\). Первых \(N\) членов конечное число. Положим
\[C=\max \{|a|+1,|a_{1}|,\ldots ,|a_{N}|\}\].
Тогда \(|a_{n}|\le C\) для каждого \(n\), то есть последовательность
Пример простыми словами
Для \(a_{n}=\frac{1}{n}\) и любого \(\varepsilon \gt 0\) выберем \(N\gt \frac{1}{\varepsilon} \). Тогда при \(n\gt N\) имеем \(\frac{1}{n}\lt \varepsilon \), то есть \(|a_{n}-0|\lt \varepsilon \). Поэтому \(\frac{1}{n}\to 0\).
Частые ошибки
- Проверка нескольких больших номеров не заменяет \(\varepsilon \)–\(N\) условие: оно должно выполняться для всех \(n\gt N\).
- Номер \(N\) обычно зависит от \(\varepsilon \). После выбора он должен работать для всех последующих \(n\).
- Ограниченность не влечёт сходимость. Например, \((-1)^{n}\) ограничена, но предела не имеет.
