Последовательность \(\{\alpha _{n}\}\) называется бесконечно малой, если \(\alpha _{n}\to 0\). Поэтому \(x_{n}\to a\) тогда и только тогда, когда \(\alpha _{n}=x_{n}-a\) является бесконечно
Последовательность \(\{b_{n}\}\) называется бесконечно большой, если для любого \(M\gt 0\) начиная с некоторого номера выполняется \(|b_{n}|\gt M\), то есть \(|b_{n}|\to +\infty \). Отдельно различают \(b_{n}\to +\infty \) и \(b_{n}\to -\infty \). Бесконечно большая последовательность не имеет конечного
Что важно запомнить
- Бесконечно малая последовательность имеет предел \(0\).
- Условие \(x_{n}\to a\) равносильно \(x_{n}-a\to 0\).
- Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную снова бесконечно мало.
- Условие \(b_{n}\to +\infty \) означает: для любого \(M\gt 0\) все достаточно поздние члены удовлетворяют \(b_{n}\gt M\).
- Бесконечно большая последовательность удовлетворяет \(|b_{n}|\to +\infty \).
- Из \(|b_{n}|\to +\infty \) не следует \(b_{n}\to +\infty \). Знак членов может меняться.
Бесконечно малые последовательности
Последовательность \(\{\alpha _{n}\}\) называется бесконечно малой, если Поэтому
\(x_{n}\to a \Leftrightarrow x_{n}=a+\alpha _{n}\), где \(\alpha _{n}\to 0\).
Действительно, \(\alpha _{n}=x_{n}-a\), и условие \(|x_{n}-a|\lt \varepsilon \) совпадает с условием
Полезное свойство: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно
Бесконечно большие последовательности
Последовательность \(\{b_{n}\}\) называется бесконечно большой, если для каждого \(M\gt 0\) существует \(N\) такое, что \(|b_{n}|\gt M\) при всех \(n\gt N\). Иными словами,
Запись \(b_{n}\to +\infty \) означает, что для любого \(M\gt 0\) все достаточно поздние члены больше \(M\). Аналогично \(b_{n}\to -\infty \) означает, что
Бесконечно большая последовательность не сходится к конечному вещественному числу. Из \(|b_{n}|\to +\infty \) при этом не следует \(b_{n}\to +\infty \) или \(b_{n}\to -\infty \): знак членов может меняться.
Пример простыми словами
Последовательность \(\frac{1}{n}\) бесконечно мала. Последовательность \(n\) стремится к \(+\infty \). Последовательность \((-1)^{n} n\) бесконечно большая, потому что её модуль равен \(n\), но она не стремится ни к \(+\infty \), ни к \(-\infty \) из-за смены знака.
Частые ошибки
- Термин «бесконечно малая» означает именно сходимость к нулю, а не просто малые по величине члены.
- Бесконечно большая последовательность не сходится к конечному вещественному числу.
- Условие \(|b_{n}|\to \infty \) не определяет знак бесконечности. Последовательность \((-1)^{n} n\) служит контрпримером.
