Арифметические свойства пределов последовательностей и предельный переход в неравенствах

Пусть \(a_{n}\to a\) и \(b_{n}\to b\). Тогда \(a_{n}\pm b_{n}\to a\pm b\) и \(a_{n}b_{n}\to ab\). Если \(b\ne 0\), то начиная с некоторого номера \(b_{n}\ne 0\) и \(\frac{a_{n}}{b_{n}}\to \frac{a}{b}\). В частности, предел линеен: \(\lambda a_{n}+\mu b_{n}\to \lambda a+\mu b\).1

Если начиная с некоторого номера \(a_{n}\le b_{n}\), то \(a\le b\). Строгое неравенство при переходе к пределу может стать нестрогим.1

Что важно запомнить
  • Предел суммы равен сумме пределов.
  • Предел произведения равен произведению пределов.
  • Для правила частного требуется \(b\ne 0\). Тогда \(b_{n}\) автоматически не равен нулю при всех достаточно больших \(n\).
  • Предел линейной комбинации равен той же линейной комбинации пределов.
  • Если \(a_{n}\le b_{n}\) начиная с некоторого номера, то \(a\le b\).
  • Из \(a_{n}\lt b_{n}\) нельзя в общем случае заключить \(a\lt b\).

Арифметика пределов

Если \(a_{n}\to a\) и \(b_{n}\to b\), то

\[a_{n}+b_{n}\to a+b, a_{n}-b_{n}\to a-b, a_{n}b_{n}\to ab\].1

Пусть \(b\ne 0\). Поскольку \(b_{n}\to b\), начиная с некоторого номера выполняется \(|b_{n}|\gt \frac{|b|}{2}\gt 0\). Поэтому знаменатель автоматически не равен нулю для всех достаточно больших \(n\), и

\[\frac{a_{n}}{b_{n}}\to \frac{a}{b}\].1

Из правил для суммы и умножения на константу следует линейность:

\(\lambda a_{n}+\mu b_{n}\to \lambda a+\mu b\) для любых \(\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\).1

Переход к пределу в неравенствах

Пусть существует \(N\) такое, что \(a_{n}\le b_{n}\) для всех \(n\gt N\). Если \(a_{n}\to a\) и \(b_{n}\to b\), то \(a\le b\).1

Предположим противное: \(a\gt b\). Тогда \(a-b\gt 0\) и \(a_{n}-b_{n}\to a-b\). Следовательно, начиная с некоторого номера \(a_{n}-b_{n}\gt 0\), то есть \(a_{n}\gt b_{n}\). Это противоречит условию \(a_{n}\le b_{n}\). Поэтому \(a\le b\).1

Строгий знак при переходе к пределу может исчезнуть. Например, \(\frac{1}{n}\lt \frac{2}{n}\) для всех \(n\), но обе последовательности стремятся к \(0\). Поэтому из \(a_{n}\lt b_{n}\) в общем случае следует только \(a\le b\).

Пример простыми словами

Пусть \(a_{n}=2+\frac{1}{n}\) и \(b_{n}=3-\frac{1}{n}\). Тогда \(a_{n}\to 2, b_{n}\to 3\) и предел знаменателя равен \(3\ne 0\). Поэтому начиная с некоторого номера \(b_{n}\ne 0\) и \(\frac{(2+\frac{1}{n})}{(3-\frac{1}{n})}\to \frac{2}{3}\).

Частые ошибки
  • Правило для частного требует ненулевого предела знаменателя.
  • Строгое неравенство между членами может превратиться в нестрогое между пределами.
  • Предельный переход в неравенстве требует, чтобы оно выполнялось для всех достаточно больших номеров, а не лишь для отдельных \(n\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 16.