Если начиная с некоторого номера выполняется \(a_{n}\le c_{n}\le b_{n}\) и при этом \(a_{n}\to L, b_{n}\to L\), то \(c_{n}\to L\). Это теорема о зажатой последовательности, которую также называют леммой о двух
Что важно запомнить
- Неравенства \(a_{n}\le c_{n}\le b_{n}\) достаточно требовать для всех достаточно больших \(n\).
- Обе ограничивающие последовательности должны стремиться к одному числу \(L\).
- Тогда зажатая между ними последовательность также стремится к \(L\).
- Доказательство непосредственно следует из \(\varepsilon \)–\(N\) определения предела.
Формулировка
Пусть существуют последовательности \(\{a_{n}\}, \{b_{n}\}, \{c_{n}\}\) и номер \(N_{0}\) такие, что \(a_{n}\le c_{n}\le b_{n}\) при всех \(n\gt N_{0}\). Если \(a_{n}\to L\) и \(b_{n}\to L\), то
Доказательство
Возьмём произвольное \(\varepsilon \gt 0\). Из \(a_{n}\to L\) найдётся \(N_{1}\) такое, что при \(n\gt N_{1}\) выполняется \(L-\varepsilon \lt a_{n}\lt L+\varepsilon \). Из \(b_{n}\to L\) найдётся \(N_{2}\) такое, что при \(n\gt N_{2}\) выполняется \(L-\varepsilon \lt b_{n}\lt L+\varepsilon \).
Положим \(N=\max \{N_{0},N_{1},N_{2}\}\). Тогда при \(n\gt N\) имеем
\[L-\varepsilon \lt a_{n}\le c_{n}\le b_{n}\lt L+\varepsilon \].
Значит, \(c_{n}\in (L-\varepsilon ,L+\varepsilon )\), то есть \(|c_{n}-L|\lt \varepsilon \). Следовательно,
Первые конечное число членов не влияют на предел. Поэтому зажатие достаточно требовать начиная с некоторого номера.
Пример простыми словами
Пусть \(c_{n}=\frac{\sin n}{n}\). Для всех \(n\ge 1\) выполняется \(-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}\). Обе крайние последовательности стремятся к \(0\), поэтому \(\frac{\sin n}{n}\to 0\).
Частые ошибки
- Разные пределы у двух ограничивающих последовательностей не позволяют применить лемму в этой форме.
- Зажатие не обязано выполняться с первого члена: достаточно всех достаточно больших \(n\).
- Одних верхней и нижней оценок недостаточно. Обе границы должны иметь общий предел \(L\).
