Монотонные последовательности и теорема о пределе монотонной последовательности

Монотонная ограниченная последовательность сходится. Если \(\{a_{n}\}\) не убывает и ограничена сверху, то \(\lim a_{n}=\sup \{a_{n}\}\). Если \(\{a_{n}\}\) не возрастает и ограничена снизу, то \(\lim a_{n}=\inf \{a_{n}\}\).1

Что важно запомнить
  • Неубывание означает \(a_{n+1}\ge a_{n}\), невозрастание означает \(a_{n+1}\le a_{n}\).
  • Неубывающей последовательности для конечной сходимости нужна верхняя граница.
  • Невозрастающей последовательности нужна нижняя граница.
  • Предел неубывающей ограниченной последовательности равен её supremum.
  • Предел невозрастающей ограниченной последовательности равен её infimum.
  • Одна монотонность не гарантирует конечного предела.

Монотонные последовательности

Последовательность называется неубывающей, если \(a_{n+1}\ge a_{n}\) для каждого \(n\), и невозрастающей, если \(a_{n+1}\le a_{n}\). Обе разновидности называют монотонными.

Теорема Вейерштрасса

Всякая монотонная ограниченная числовая последовательность сходится. Точнее, если \(\{a_{n}\}\) не убывает и ограничена сверху, то

\[\lim a_{n}=\sup \{a_{n}\}\].

Если \(\{a_{n}\}\) не возрастает и ограничена снизу, то

\[\lim a_{n}=\inf \{a_{n}\}\].1

Доказательство для неубывающей последовательности

Пусть \(A=\sup \{a_{n}\}\). Для любого \(\varepsilon \gt 0\) число \(A-\varepsilon \) уже не является верхней гранью множества значений последовательности. Поэтому существует номер \(N\), для которого \(a_{N}\gt A-\varepsilon \).

Из монотонности при \(n\ge N\) получаем \(a_{n}\ge a_{N}\gt A-\varepsilon \). С другой стороны, \(a_{n}\le A\), поскольку \(A\) является верхней гранью. Значит,

\[A-\varepsilon \lt a_{n}\le A\].

Отсюда \(|a_{n}-A|=A-a_{n}\lt \varepsilon \). Следовательно, \(a_{n}\to A\). Для невозрастающей последовательности доказательство проводится аналогично с infimum.1

Если неубывающая последовательность не ограничена сверху, она стремится к \(+\infty \). Аналогично невозрастающая последовательность, не ограниченная снизу, стремится к \(-\infty \).

Пример простыми словами

Последовательность \(a_{n}=1-\frac{1}{n}\) не убывает и ограничена сверху числом \(1\). Её точная верхняя грань равна \(1\), поэтому \(a_{n}\to 1\).

Частые ошибки
  • Монотонность не означает ограниченность. Последовательность \(a_{n}=n\) монотонна, но конечного предела не имеет.
  • Для неубывающей последовательности нужна верхняя граница, а для невозрастающей — нижняя.
  • Supremum может не совпадать ни с одним членом последовательности.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 15–16.