Критерий Коши сходимости последовательности

Последовательность \(\{a_{n}\}\) называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что \(|a_{n}-a_{m}|\lt \varepsilon \) при всех \(n,m\gt N\). Последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши.1

Что важно запомнить
  • Условие Коши сравнивает между собой любые два достаточно поздних члена.
  • Сходимость всегда влечёт фундаментальность.
  • В \(\mathbb{R}\) фундаментальность также влечёт сходимость.
  • Фундаментальная последовательность ограничена.
  • Для достаточности удобно использовать теорему Больцано—Вейерштрасса и сходящуюся подпоследовательность.

Условие Коши

Последовательность \(\{a_{n}\}\) называется последовательностью Коши, если

\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n,m\gt N: |a_{n}-a_{m}|\lt \varepsilon \].

Критерий Коши утверждает, что для последовательности действительных чисел это условие необходимо и достаточно для существования конечного предела.1

Необходимость

Пусть \(a_{n}\to a\). Для заданного \(\varepsilon \gt 0\) выберем \(N\) так, чтобы \(|a_{n}-a|\lt \frac{\varepsilon}{2}\) при \(n\gt N\). Тогда для \(n,m\gt N\)

\[|a_{n}-a_{m}|\le |a_{n}-a|+|a_{m}-a|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \].

Значит, всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.1

Достаточность

Сначала заметим, что всякая последовательность Коши ограничена. Её хвост можно заключить в фиксированную окрестность одного позднего члена, а начальных членов остаётся конечное число.1

По теореме Больцано—Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выбрать подпоследовательность \(a_{n_{k}}\to a\). Возьмём \(\varepsilon \gt 0\). Из условия Коши существует \(N_{1}\) такое, что \(|a_{n}-a_{m}|\lt \frac{\varepsilon}{2}\) при всех \(n,m\gt N_{1}\). Затем выберем \(k\) настолько большим, чтобы \(n_{k}\gt N_{1}\) и \(|a_{n_{k}}-a|\lt \frac{\varepsilon}{2}\). Тогда для любого \(n\gt N_{1}\)

\[|a_{n}-a|\le |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \].

Следовательно, \(a_{n}\to a\). Таким образом, фундаментальность в \(\mathbb{R}\) достаточна для сходимости.1

Пример простыми словами

Для \(a_{n}=\frac{1}{n}\) и \(n,m\gt N\) имеем \(|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\le \frac{1}{n}+\frac{1}{m}\lt \frac{2}{N}\). Если выбрать \(N\gt \frac{2}{\varepsilon} \), то \(|a_{n}-a_{m}|\lt \varepsilon \). Значит, последовательность удовлетворяет условию Коши.

Частые ошибки
  • Условие \(|a_{n+1}-a_{n}|\to 0\) само по себе не является критерием Коши: нужно сравнивать любые два достаточно поздних члена.
  • Один выбранный \(N\) должен работать одновременно для всех \(n,m\gt N\), хотя сам \(N\) зависит от \(\varepsilon \).
  • Критерий в этой формулировке характеризует конечную сходимость последовательностей действительных чисел.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 17–18.