Число e: определение через предел, основные оценки и иррациональность

Число \(e\) определяется пределом \(e=\lim _{n\to \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}\). Последовательность \((1+\frac{1}{n})^{n}\) возрастает и ограничена сверху, поэтому предел существует. В частности, \(2\lt e\lt 3\) и \(e\approx 2,718281828\ldots \).^{1, 2} Число \(e\) иррационально.²

Что важно запомнить

Основное определение в этом вопросе: \(e=\lim (1+\frac{1}{n})^{n}\).
Последовательность \((1+\frac{1}{n})^{n}\) монотонно возрастает и ограничена сверху числом \(3\).
Поэтому предел существует по теореме Вейерштрасса.
Выполняется \(2\lt e\lt 3\), численно \(e\approx 2,718281828\ldots \) .
Иррациональность \(e\) доказывается отдельно с помощью факториальной оценки остатка ряда для \(e\).

Определение и существование предела

Рассмотрим последовательность

\[x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}\].

Её предел называют числом \(e\).^{1, 2} Из бинома Ньютона получают представление, позволяющее сравнить соседние члены и установить, что \(x_{n}\) возрастает. Одновременно выполняется оценка

\[x_{n}\le \sum _{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\lt 3\].

Следовательно, \(\{x_{n}\}\) монотонна и ограничена. По теореме о пределе монотонной последовательности она сходится.¹

Так как \(x_{2}=(\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}\gt 2\), а все последующие члены не меньше \(x_{2}\), получаем \(2\lt e\lt 3\). Численно \(e\approx 2,718281828\ldots \).^{1, 2}

Иррациональность \(e\)

Для строгого доказательства используем представление числа \(e\) через ряд экспоненты. Для любого \(n\) справедлива оценка

\[0\lt e-\sum _{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\lt \frac{3}{(n+1)!}\].²

Предположим противное и запишем \(e=\frac{p}{q}\), где \(p,q\in \mathbb{N}\). Поскольку \(2\lt e\lt 3\), число \(e\) не может быть целым, поэтому можно считать \(q\ge 2\). Подставим \(n=q\) и умножим неравенство на \(q!\):

\[0\lt q!e-\sum _{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}\lt \frac{3}{(q+1)}\le 1\].

При предположении \(e=\frac{p}{q}\) имеем \(q!e=(q-1)!p\in \mathbb{Z}\). Кроме того, \(\frac{q!}{k!}\in \mathbb{Z}\) для каждого \(0\le k\le q\). Следовательно, разность \(q!e-\sum _{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}\) является целым числом. Но из предыдущей оценки она строго больше \(0\) и строго меньше \(1\). Такого целого числа не существует. Получено противоречие, поэтому \(e\) иррационально.²

Пример простыми словами

Первые значения определяющей последовательности: при \(n=1\) получаем \(2\), при \(n=2\) — \(2{,}25\), при \(n=3\) — \(\frac{64}{27}\approx 2{,}37\). Значения возрастают и постепенно приближаются к \(e\approx 2{,}71828\).

Частые ошибки

Десятичное приближение \(2,718\ldots \) не заменяет определения \(e\) через предел.
Для существования предела одной монотонности недостаточно: нужна также ограниченность.
Бесконечная десятичная запись сама по себе не доказывает иррациональность.
В доказательстве иррациональности ключевое противоречие — существование целого числа строго между \(0\) и \(1\).

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 15–16.
2 Теляковский С. А. Курс лекций по математическому анализу Семестр I. 2-е изд. М.: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2009 г. §§ 2.6, 6.5.