Пусть \(y_{n}\to +\infty \) и начиная с некоторого номера \(y_{n}\) строго возрастает. Если существует предел \(L=\lim \frac{(x_{n+1}-x_{n})}{(y_{n+1}-y_{n})}\), конечный или бесконечный, то существует и предел \(\lim \frac{x_{n}}{y_{n}}\), причём он равен \(L\). Это теорема
Что важно запомнить
- Знаменатель \(y_{n}\) должен стремиться к \(+\infty \).
- Начиная с некоторого номера \(y_{n}\) должен строго возрастать, поэтому \(y_{n+1}-y_{n}\gt 0\).
- Исследуется предел отношения приращений соседних членов.
- Если этот предел существует, то предел \(\frac{x_{n}}{y_{n}}\) равен ему.
- Теорема особенно удобна для неопределённостей типа \(\frac{\infty}{\infty} \) и для средних арифметических.
Формулировка
Пусть \(\{x_{n}\}\) и \(\{y_{n}\}\) — последовательности вещественных чисел. Предположим, что \(y_{n}\to +\infty \) и начиная с некоторого номера \(y_{n+1}\gt y_{n}\). Если существует предел
\[L=\lim _{n\to \infty }\frac{(x_{n+1}-x_{n})}{(y_{n+1}-y_{n})}\],
то
В используемой формулировке \(L\) может быть конечным числом, \(+\infty \) или \(-\infty \). Теорема особенно полезна при исследовании отношений последовательностей типа \(\frac{\infty}{\infty} \).
Как применять теорему
Сначала проверяют, что \(y_{n}\) стремится к \(+\infty \) и в конце концов строго возрастает. Затем вычисляют разности \(x_{n+1}-x_{n}\) и \(y_{n+1}-y_{n}\). Если предел их отношения найти проще и он существует, теорема сразу даёт предел исходного
Полезное следствие получается при \(x_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}\) и \(y_{n}=n\). Тогда отношение приращений равно \(a_{n+1}\). Поэтому если \(a_{n}\to a\), то
То же утверждение сохраняется для бесконечного предела в рамках указанной формулировки теоремы.
Пример простыми словами
Найдём предел \(\frac{(1+2+\ldots +n)}{n^{2}}\). Положим \(x_{n}=1+2+\ldots +n, y_{n}=n^{2}\). Тогда \(x_{n+1}-x_{n}=n+1\), а \(y_{n+1}-y_{n}=2n+1\). Их отношение стремится к \(\frac{1}{2}\). По теореме Штольца исходное отношение также стремится к \(\frac{1}{2}\).
Частые ошибки
- Перед применением нужно проверить \(y_{n}\to +\infty \) и его строгое возрастание начиная с некоторого номера.
- Теорема использует отношение разностей соседних членов, а не \(\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\).
- Существование предела отношения приращений — существенное условие данной формулировки.
- Если исходный предел проще находится непосредственно, применение Штольца только усложняет решение.
