Частичные пределы последовательности. Верхний и нижний пределы

Частичным пределом последовательности называют предел некоторой её подпоследовательности. Для ограниченной \(\{a_{n}\}\) верхний предел \(\limsup a_{n}\) получают как предел \(M_{n}=\sup _{k\gt n}a_{k}\), а нижний предел \(\liminf a_{n}\) — как предел \(m_{n}=\inf _{k\gt n}a_{k}\). Эти числа являются крайними частичными пределами последовательности.¹

Что важно запомнить

Частичный предел — это предел подпоследовательности.
\(M_{n}=\sup _{k\gt n}a_{k}\) не возрастает, а \(m_{n}=\inf _{k\gt n}a_{k}\) не убывает.
Для ограниченной последовательности \(\lim M_{n}=\limsup a_{n}\) и \(\lim m_{n}=\liminf a_{n}\) существуют и конечны.
\(\limsup \) и \(\liminf \) сами являются частичными пределами.
Любой частичный предел лежит между \(\liminf \) и \(\limsup \).
Ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда \(\liminf =\limsup \).

Частичные пределы

Пусть \(n_{1}\lt n_{2}\lt \ldots \) . Если подпоследовательность \(\{a_{n_{k}}\}\) сходится к числу \(L\), то \(L\) называется частичным пределом последовательности \(\{a_{n}\}\).¹

Если вся последовательность сходится к \(a\), то каждая её подпоследовательность также сходится к \(a\). Поэтому у сходящейся последовательности только один частичный предел. Для ограниченной расходящейся последовательности частичных пределов не менее двух.¹

Верхний и нижний пределы

Пусть \(\{a_{n}\}\) ограничена. Рассмотрим точные грани её хвостов:

\[M_{n}=\sup _{k\gt n}a_{k}, m_{n}=\inf _{k\gt n}a_{k}\].

При увеличении \(n\) хвост становится меньше. Поэтому \(M_{n}\) не возрастает, а \(m_{n}\) не убывает. Обе последовательности ограничены и по теореме о пределе монотонной последовательности имеют конечные пределы. Определяют

\[\limsup a_{n}=\lim M_{n}, \liminf a_{n}=\lim m_{n}\].¹

Верхний и нижний пределы являются частичными пределами исходной последовательности. Действительно, можно последовательно выбирать члены, приближающиеся к supremum или infimum соответствующих хвостов. Кроме того, любой частичный предел \(L\) удовлетворяет

\[\liminf a_{n}\le L\le \limsup a_{n}\].¹

Критерий сходимости

Для ограниченной последовательности

\[a_{n}\to a \Leftrightarrow \liminf a_{n}=\limsup a_{n}=a\].¹

Если нижний и верхний пределы различны, последовательность не может иметь единственного общего предела.

Пример простыми словами

Для \(a_{n}=(-1)^{n}\) чётная подпоследовательность постоянно равна \(1\), а нечётная — \(-1\). Поэтому частичные пределы равны \(-1\) и \(1, \liminf a_{n}=-1, \limsup a_{n}=1\). Последовательность не сходится.

Частые ошибки

Частичный предел — это предел некоторой подпоследовательности, а не отдельное значение \(a_{n}\).
\(\limsup \) не равен «просто наибольшему члену»: он определяется через supremum хвостов.
\(\liminf \) аналогично определяется через infimum хвостов.
Для ограниченной последовательности равенство \(\liminf =\limsup \) означает сходимость к их общему значению.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 16–18.