Теорема Больцано—Вейерштрасса для последовательностей

Теорема Больцано—Вейерштрасса для последовательностей утверждает: из любой ограниченной последовательности действительных чисел можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.¹

Что важно запомнить

Исходная последовательность должна быть ограниченной.
Вывод относится к существованию хотя бы одной сходящейся подпоследовательности.
В доказательстве отрезок последовательно делят пополам и каждый раз выбирают половину с бесконечным числом членов.
Получаются вложенные отрезки с длинами, стремящимися к нулю.
Из них выбирают члены с возрастающими индексами, образующие сходящуюся подпоследовательность.

Формулировка

Всякая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность.¹

Доказательство

Пусть все члены \(\{a_{n}\}\) лежат в отрезке \([c,d]\). Разделим его пополам. Хотя бы в одной половине находится бесконечно много членов последовательности. Выберем эту половину и обозначим \(I_{1}\).

Снова делим \(I_{1}\) пополам и выбираем половину \(I_{2}\), содержащую бесконечно много членов. Продолжая процесс, получаем вложенные отрезки

\(I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots \) ,

причём длина \(I_{k}\) равна \(\frac{(d-c)}{2^{k}}\) и стремится к нулю. По теореме о вложенных отрезках существует единственная точка \(a\), принадлежащая всем \(I_{k}\).¹

Выберем \(n_{1}\) так, чтобы \(a_{n_{1}}\in I_{1}\). Если \(n_{k}\) уже выбран, то в \(I_{k+1}\) лежит бесконечно много членов исходной последовательности, поэтому можно выбрать \(n_{k+1}\gt n_{k}\) так, чтобы \(a_{n_{k+1}}\in I_{k+1}\). Так получаем строго возрастающие индексы \(n_{1}\lt n_{2}\lt \ldots \) . Поскольку и \(a\), и \(a_{n_{k}}\) лежат в \(I_{k}\),

\[|a_{n_{k}}-a|\le |I_{k}|\to 0\].

Следовательно, \(a_{n_{k}}\to a\). Искомая сходящаяся подпоследовательность построена.¹

Пример простыми словами

Последовательность \(a_{n}=(-1)^{n}\) ограничена, хотя сама не сходится. Из неё можно выбрать чётные члены \(a_{2k}=1\). Эта подпоследовательность сходится к \(1\). Можно также выбрать нечётные члены, сходящиеся к \(-1\).

Частые ошибки

Теорема не утверждает, что всякая ограниченная последовательность сама сходится.
При построении подпоследовательности индексы должны строго возрастать.
Недостаточно только получить вложенные отрезки. Нужно ещё выбрать в них члены исходной последовательности.
Ограниченность является условием, гарантирующим существование конечного частичного предела.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 16–17.