Теоремы о средних арифметических и геометрических последовательностей при переходе к пределу

Пусть \(A_{n}=\frac{(a_{1}+\ldots +a_{n})}{n}\). Если \(a_{n}\to a\), то \(A_{n}\to a\). Если \(a_{n}\to +\infty \), то \(A_{n}\to +\infty \). Для положительной последовательности \(G_{n}=(a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{\frac{1}{n}}\) верно аналогичное утверждение: при \(a_{n}\to a\ge 0\) имеем \(G_{n}\to a\), а при \(a_{n}\to +\infty \) имеем \(G_{n}\to +\infty \).¹

Что важно запомнить

Средние арифметические первых \(n\) членов сохраняют конечный предел последовательности.
Они также сохраняют стремление к \(+\infty \).
Для средних геометрических требуется положительность всех членов.
При положительных \(a_{n}\to a\ge 0\) средние геометрические стремятся к \(a\).
При \(a_{n}\to +\infty \) средние геометрические также стремятся к \(+\infty \).
Арифметический результат удобно выводить из теоремы Штольца, а геометрический — из \(AM-GM\).

Средние арифметические

Положим

\[A_{n}=\frac{(a_{1}+\ldots +a_{n})}{n}\].

Если \(a_{n}\to a\), то \(A_{n}\to a\). Если \(a_{n}\to +\infty \), то \(A_{n}\to +\infty \).¹

Оба утверждения следуют из теоремы Штольца. Возьмём \(x_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}\) и \(y_{n}=n\). Тогда

\[\frac{(x_{n+1}-x_{n})}{(y_{n+1}-y_{n})}=a_{n+1}\].

Поэтому предел \(A_{n}\) совпадает с пределом \(a_{n}\) как в конечном случае, так и при стремлении к \(+\infty \).²

Средние геометрические

Пусть теперь \(a_{n}\gt 0\) и

\[G_{n}=(a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{\frac{1}{n}}\].

Предположим сначала, что \(a_{n}\to a\gt 0\). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

\[G_{n}\le A_{n}\].³

Последовательность \(\frac{1}{a_{n}}\) сходится к \(\frac{1}{a}\). Для её средних арифметических \(B_{n}=(\frac{1}{n})\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\) имеем \(B_{n}\to \frac{1}{a}\), поэтому \(\frac{1}{B_{n}}\to a\). Применяя \(AM-GM\) к числам \(\frac{1}{a_{1}},\ldots ,\frac{1}{a_{n}}\), получаем

\[\frac{1}{G_{n}}\le B_{n}\],

то есть \(\frac{1}{B_{n}}\le G_{n}\le A_{n}\). Обе крайние последовательности стремятся к \(a\). По теореме о зажатой последовательности \(G_{n}\to a\).^{2, 3}

Если \(a=0\), то \(0\lt G_{n}\le A_{n}\). Так как \(A_{n}\to 0\), по теореме о зажатой последовательности \(G_{n}\to 0\).^{2, 3}

Наконец, если \(a_{n}\to +\infty \), то \(\frac{1}{a_{n}}\to 0\). Применяя уже доказанный случай конечного предела к положительной последовательности \(\{\frac{1}{a_{n}}\}\), получаем

\[(\frac{1}{a_{1}}\ldots \frac{1}{a_{n}})^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{G_{n}}\to 0\].

Поскольку \(G_{n}\gt 0\), отсюда следует \(G_{n}\to +\infty \).¹

Пример простыми словами

Если \(a_{n}=1+\frac{1}{n}\), то \(a_{n}\to 1\). Поэтому средние арифметические \(\frac{(a_{1}+\ldots +a_{n})}{n}\) стремятся к \(1\). Поскольку все \(a_{n}\) положительны, средние геометрические \((a_{1}\ldots a_{n})^{\frac{1}{n}}\) также стремятся к \(1\).

Частые ошибки

Для среднего геометрического нельзя игнорировать условие положительности членов.
Не путать среднее первых \(n\) членов с самим \(n\)-м членом.
Сходимость средних арифметических не означает автоматически сходимость исходной последовательности.
В случае \(a=0\) для геометрических средних не нужно делить на \(a\). Достаточно оценки \(0\lt G_{n}\le A_{n}\).

Другие вопросы

Источники

1 Лукашенко Т. П. Вопросы коллоквиума по математическому анализу 1 курс, 1 поток, 1 семестр, 2019/20 уч. г. Механико-математический факультет МГУ. Задачи 4–7.
2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т. I. 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003 г. § 33. Следствие о средних арифметических первых n членов последовательности.
3 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 47. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.