Предел функции: определения по Коши и Гейне, единственность и односторонние пределы

Предел функции можно определить двумя равносильными способами. По Коши: для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(0\lt |x-a|\lt \delta \) влечёт \(|f(x)-b|\lt \varepsilon \). По Гейне: для любой последовательности \(x_{n}\to a, x_{n}\ne a\), выполняется \(f(x_{n})\to b\). Предел единственен. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда левый и правый пределы существуют и совпадают.1

Что важно запомнить
  • В определении Коши точка \(x=a\) исключается условием \(0\lt |x-a|\).
  • В определении Гейне рассматриваются все допустимые последовательности \(x_{n}\to a\), а не одна выбранная.
  • Определения Коши и Гейне равносильны.
  • Предел функции в точке единственен.
  • Двусторонний предел равен \(b\) тогда и только тогда, когда левый и правый пределы существуют и оба равны \(b\).

Определение по Коши

Пусть \(f:D\to \mathbb{R}\), а точка \(a\) является предельной точкой \(D\). Число \(b\) называется пределом \(f\) при \(x\to a\), если

\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 \forall x\in D: 0\lt |x-a|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-b|\lt \varepsilon \].1

Условие \(x\ne a\) показывает, что значение функции непосредственно в точке \(a\) не влияет на предел.

Определение по Гейне

Число \(b\) является пределом \(f\) при \(x\to a\), если для каждой последовательности \(\{x_{n}\}\subset D\), удовлетворяющей \(x_{n}\to a\) и \(x_{n}\ne a\), выполняется \(f(x_{n})\to b\).1

Определения Коши и Гейне равносильны. Из определения Коши переход к любой последовательности получается непосредственно. В обратную сторону рассуждают от противного. Если \(\varepsilon \)–\(\delta \) условие определения Коши нарушено, существует \(\varepsilon _{0}\gt 0\) такое, что для каждого \(\delta \gt 0\) найдётся \(x\in D\) с \(0\lt |x-a|\lt \delta \) и \(|f(x)-b|\ge \varepsilon _{0}\). Беря \(\delta =\frac{1}{n}\), выбираем \(x_{n}\) так, что \(x_{n}\to a\), но \(|f(x_{n})-b|\ge \varepsilon _{0}\) для всех \(n\). Тогда \(f(x_{n})\) не сходится к \(b\), что противоречит определению Гейне.1

Единственность

Предел функции единственен. Действительно, если бы числа \(b\) и \(c\) были двумя пределами, то для любой допустимой последовательности \(x_{n}\to a\) последовательность \(f(x_{n})\) должна была бы сходиться одновременно к \(b\) и \(c\). Единственность предела последовательности даёт \(b=c\).1

Односторонние пределы

Для предела слева функцию рассматривают на \(D^{-}=D\cap (-\infty ,a)\), а для предела справа — на \(D^{+}=D\cap (a,+\infty )\). Пишут соответственно

\[\lim _{x\to a-}f(x), \lim _{x\to a+}f(x)\].

Если \(a\) является предельной точкой \(D\) с обеих сторон, то общий предел \(\lim _{x\to a}f(x)=b\) существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны \(b\).1

Пример простыми словами

Пусть \(f(x)=0\) при \(x\lt 0\) и \(f(x)=1\) при \(x\gt 0\). Тогда при \(x\to 0\) слева предел равен \(0\), а справа — \(1\). Односторонние пределы существуют, но не совпадают, поэтому двустороннего предела в точке \(0\) нет.

Частые ошибки
  • В определении Гейне недостаточно проверить одну удобную последовательность. Условие должно выполняться для каждой последовательности \(x_{n}\to a, x_{n}\ne a\).
  • Значение \(f(a)\) не определяет предел при \(x\to a\).
  • Существования двух односторонних пределов недостаточно. Для общего конечного предела они должны совпадать.
  • Не путать \(\delta \), которое зависит от \(\varepsilon \), с фиксированной окрестностью.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 24–26.