Пусть \(f\) монотонна на луче, уходящем к \(+\infty \). Если \(f\) не убывает и ограничена сверху, то \(\lim _{x\to +\infty }f(x)=\sup f\). Если она не убывает и не ограничена сверху, то предел равен \(+\infty \). Для невозрастающей функции аналогично: при ограниченности снизу предел равен \(\inf f\), а при отсутствии нижней границы равен
Что важно запомнить
- Монотонная функция на бесконечном луче всегда имеет конечный или бесконечный предел при \(x\to +\infty \).
- Для неубывающей функции конечный предел существует при ограниченности сверху и равен supremum её значений.
- Неубывающая неограниченная сверху функция стремится к \(+\infty \).
- Для невозрастающей функции конечный предел при ограниченности снизу равен infimum.
- Невозрастающая неограниченная снизу функция стремится к \(-\infty \).
Неубывающая функция
Пусть \(f\) определена на луче \([a,+\infty )\) и не убывает.
Если \(f\) ограничена сверху, существует число \(L=\sup _{x\ge a}f(x)\). Для любого \(\varepsilon \gt 0\) число \(L-\varepsilon \) не является верхней гранью значений функции. Поэтому найдётся \(x_{0}\) такое, что \(f(x_{0})\gt L-\varepsilon \). Из монотонности при \(x\ge x_{0}\) получаем
\[L-\varepsilon \lt f(x)\le L\].
Отсюда \(|f(x)-L|=L-f(x)\lt \varepsilon \). Следовательно,
Если \(f\) не ограничена сверху, то для любого \(M\gt 0\) найдётся \(x_{0}\) с \(f(x_{0})\gt M\). Из монотонности \(f(x)\ge f(x_{0})\gt M\) при всех \(x\ge x_{0}\). По определению это означает
Невозрастающая функция
Для невозрастающей функции рассуждение симметрично. Если она ограничена снизу, то
\[\lim _{x\to +\infty }f(x)=\inf _{x\ge a}f(x)\].
Если нижней границы нет, то
Итак, монотонность гарантирует существование предела в расширенном смысле. Ограниченность определяет, будет этот предел конечным или бесконечным. Для \(x\to -\infty \) формулировка получается аналогично после изменения направления движения по числовой прямой.
Пример простыми словами
Функция \(f(x)=1-\frac{1}{x}\) на \([1,+\infty )\) возрастает и ограничена сверху числом \(1\). Поэтому \(\lim _{x\to +\infty }f(x)=1\). Функция \(g(x)=x\) также возрастает, но не ограничена сверху, поэтому \(g(x)\to +\infty \).
Частые ошибки
- Не считать, что монотонная функция обязательно имеет конечный предел. Она может стремиться к \(\pm \infty \).
- Для возрастающей функции используется верхняя граница, для убывающей — нижняя.
- Supremum или infimum не обязаны достигаться функцией.
- Ограниченность без монотонности сама по себе не гарантирует существования предела при \(x\to \infty \).
