Критерий Коши существования предела функции и предел по базе

Конечный предел функции существует тогда и только тогда, когда её значения в достаточно малой проколотой окрестности точки становятся сколь угодно близкими друг к другу. Это критерий Коши. Предел по базе даёт единый язык для предела последовательности, предела функции и других способов предельного перехода.¹

Что важно запомнить

Критерий Коши не предполагает заранее известного значения предела.
Для любого \(\varepsilon \gt 0\) должна существовать одна окрестность, в которой \(|f(x)-f(y)|\lt \varepsilon \) для любых двух допустимых точек \(x\) и \(y\).
В \(\mathbb{R}\) условие Коши необходимо и достаточно для существования конечного предела.
База состоит из непустых множеств и позволяет уточнять два её элемента третьим, лежащим в их пересечении.
Для предела функции по базе используются проколотые окрестности, пересечённые с областью определения.

Критерий Коши для функции

Пусть \(f:D\to \mathbb{R}\), а точка \(a\) является предельной точкой \(D\). Конечный предел \(\lim _{x\to a}f(x)\) существует тогда и только тогда, когда

Необходимость следует из существования предела \(b\). Для достаточно близких \(x\) и \(y\) имеем \(|f(x)-b|\lt \frac{\varepsilon}{2}\) и \(|f(y)-b|\lt \frac{\varepsilon}{2}\), поэтому

\[|f(x)-f(y)|\le |f(x)-b|+|f(y)-b|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \].

Для достаточности возьмём любую последовательность \(x_{n}\in D, x_{n}\to a, x_{n}\ne a\). Условие Коши для функции делает последовательность \(\{f(x_{n})\}\) фундаментальной. Полнота \(\mathbb{R}\) даёт её сходимость. Если взять другую последовательность \(y_{n}\to a\) и рассмотреть смешанную последовательность \(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots \), то её значения также должны сходиться. Поэтому пределы \(\{f(x_{n})\}\) и \(\{f(y_{n})\}\) совпадают. Значит, по определению Гейне функция имеет единственный конечный предел.¹

Предел по базе

Базой на непустом множестве \(X\) называют непустое семейство \(B\) непустых подмножеств \(X\) со свойством: для любых \(U,V\in B\) существует \(W\in B\) такое, что \(W\subseteq U\cap V\).¹

Число \(b\) называется пределом \(f:X\to \mathbb{R}\) по базе \(B\), если

\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists U\in B \forall x\in U: |f(x)-b|\lt \varepsilon \].

Если \(X=\mathbb{N}\) и \(B\) состоит из хвостов \(\{n\in \mathbb{N}:n\gt N_{0}\}\), получается обычный предел последовательности. Для предела функции \(f:D\to \mathbb{R}\) при \(x\to a\) берут \(X=D\) и базу \(U_{\delta }=\{x\in D:0\lt |x-a|\lt \delta \}, \delta \gt 0\). Так одна конструкция описывает разные виды предельного перехода.¹

Пример простыми словами

Для \(f(x)=\sin (\frac{1}{x})\) при \(x\to 0\) критерий Коши не выполняется. Сколь угодно близко к нулю можно выбрать точки \(x\) и \(y\), для которых значения функции равны \(1\) и \(-1\). Тогда \(|f(x)-f(y)|=2\), поэтому конечного предела нет.

Частые ошибки

Нельзя проверять условие только для одной последовательности точек. Оно должно работать для любых \(x\) и \(y\) из достаточно малой проколотой окрестности.
В критерии Коши речь идёт о конечном пределе.
База — не произвольный набор множеств. Требуется возможность совместно уточнять любые два её элемента.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 26–27