Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Локальная ограниченность и связь с конечным пределом

Функция \(\alpha (x)\) называется бесконечно малой при \(x\to a\), если \(\alpha (x)\to 0\). Функция \(f(x)\) называется бесконечно большой, если \(|f(x)|\to \infty \). Конечный предел \(f(x)\to A\) равносилен представлению \(f(x)=A+\alpha (x)\), где \(\alpha (x)\to 0\). Функция с конечным пределом локально ограничена.^{1, 2}

Что важно запомнить

Бесконечно малая функция — это функция с нулевым пределом.
Бесконечно большая функция определяется условием \(|f(x)|\to \infty \).
Стремление к \(+\infty \) или \(-\infty \) сильнее, чем просто рост модуля до бесконечности.
\(f(x)\to A\) тогда и только тогда, когда \(f(x)-A\) является бесконечно малой.
Всякая функция с конечным пределом ограничена в некоторой проколотой окрестности точки.
Если \(\alpha (x)\to 0\) и \(\alpha (x)\ne 0\) достаточно близко к \(a\), то \(|\frac{1}{\alpha (x)}|\to \infty \).

Бесконечно малые функции

Функция \(\alpha \) называется бесконечно малой при \(x\to a\), если

\[\lim _{x\to a}\alpha (x)=0\].²

Поэтому утверждение \(f(x)\to A\) можно записать в эквивалентной форме

\(f(x)=A+\alpha (x)\), где \(\alpha (x)\to 0\).

Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки, также стремится к нулю.²

Бесконечно большие функции

Функция \(f\) называется бесконечно большой при \(x\to a\), если для любого \(M\gt 0\) существует проколотая окрестность точки \(a\), в которой \(|f(x)|\gt M\). Это записывают как \(|f(x)|\to \infty \).¹

Следует различать три ситуации. При \(f(x)\to +\infty \) значения в конце концов больше любого \(M\). При \(f(x)\to -\infty \) они меньше \(-M\). При \(|f(x)|\to \infty \) знак может меняться, поэтому двустороннего предела \(+\infty \) или \(-\infty \) может не быть.

Связь с конечным пределом и ограниченностью

Если \(f(x)\to A\in \mathbb{R}\), то \(f\) локально ограничена. Действительно, выбрав \(\varepsilon =1\), получаем \(|f(x)-A|\lt 1\) в некоторой проколотой окрестности, откуда \(|f(x)|\le |A|+1\).^{1, 2}

Если \(\alpha (x)\to 0\) и \(\alpha (x)\ne 0\) достаточно близко к \(a\), то \(|\frac{1}{\alpha (x)}|\to \infty \). Обратно, из \(|f(x)|\to \infty \) следует \(\frac{1}{f(x)}\to 0\). Достаточно близко к \(a\) знаменатель \(f(x)\) автоматически не равен нулю.^{1, 2}

Пример простыми словами

При \(x\to 0\) функция \(\alpha (x)=x\) бесконечно мала. Функция \(\frac{1}{x}\) бесконечно большая по модулю, поскольку \(|\frac{1}{x}|\to \infty \). Однако при двустороннем \(x\to 0\) она не стремится ни к \(+\infty \), ни к \(-\infty \): знак зависит от стороны подхода.

Частые ошибки

Обычная неограниченность слабее бесконечно большого поведения: требуется \(|f(x)|\gt M\) для всех достаточно близких допустимых \(x\).
Условие \(|f(x)|\to \infty \) не определяет знак бесконечности. Функция может менять знак.
Локальная ограниченность при конечном пределе относится к некоторой окрестности предельной точки, а не обязательно ко всей области определения.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 25, 27
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. Раздел «Действия над пределами», с. 44–45