Арифметические свойства
Пусть при \(x\to a\) существуют конечные пределы \(f(x)\to A\) и \(g(x)\to B\). Тогда
\[f(x)+g(x)\to A+B, f(x)-g(x)\to A-B, f(x)g(x)\to AB\].1, 2
Если \(B\ne 0\), то
\[\frac{f(x)}{g(x)}\to \frac{A}{B}\].
Из \(g(x)\to B\ne 0\) следует, что достаточно близко к \(a\) выполняется \(|g(x)-B|\lt \frac{|B|}{2}\). Поэтому \(|g(x)|\ge |B|-|g(x)-B|\gt \frac{|B|}{2}\gt 0\), и частное там определено. Из арифметики пределов следует линейность: для \(\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\)
\[\lim (\lambda f+\mu g)=\lambda A+\mu B\].1
Предельный переход в неравенствах
Если \(f(x)\le g(x)\) для всех \(x\) из некоторой проколотой окрестности \(a\) и существуют конечные пределы \(A\) и \(B\), то \(A\le B\).1
Важно, что строгое неравенство может потерять строгость. Например, при \(x\to 0\) имеем \(x^{2}\gt 0\) для \(x\ne 0\), но предел \(x^{2}\) равен \(0\).
Лемма о двух милиционерах
Если в некоторой проколотой окрестности
\[f(x)\le h(x)\le g(x)\]
и \(f(x)\to L, g(x)\to L\), то \(h(x)\to L\).1, 2
Для любого \(\varepsilon \gt 0\) достаточно выбрать окрестность, где одновременно \(L-\varepsilon \lt f(x)\) и \(g(x)\lt L+\varepsilon \). Тогда \(L-\varepsilon \lt h(x)\lt L+\varepsilon \), то есть \(|h(x)-L|\lt \varepsilon \).