Пусть \(f(x)\to b\) при \(x\to a\), а \(g(y)\to c\) при \(y\to b\). Если \(f(x)\ne b\) в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), то \(g(f(x))\to c\). Если \(g\) непрерывна в \(b\), условие \(f(x)\ne b\) не требуется и
Что важно запомнить
- Сначала проверяют \(f(x)\to b\).
- Значения \(f(x)\) должны попадать в область, где определена внешняя функция \(g\).
- В общей теореме о пределе композиции требуется \(f(x)\ne b\) для всех достаточно близких \(x\ne a\).
- Если \(g\) непрерывна в \(b\), то \(\lim g(f(x))=g(b)\) без условия \(f(x)\ne b\).
- Замена переменной в пределе является применением теоремы о композиции после проверки её условий.
Предел композиции
Пусть \(f:D\to E, a\) — предельная точка \(D\) и
\(f(x)\to b\) при \(x\to a\).
Пусть \(b\) является предельной точкой \(E\) и
\(g(y)\to c\) при \(y\to b\).
Если в некоторой проколотой окрестности точки \(a\) выполняется \(f(x)\ne b\), то
Предел \(g(y)\) при \(y\to b\) не зависит от значения \(g(b)\). Поэтому условие \(f(x)\ne b\) существенно: если, например, \(f(x)\equiv b\), то \(g(f(x))\equiv g(b)\), а это значение может не совпадать с \(c\).
Непрерывная внешняя функция
Если \(g\) непрерывна в \(b\), то \(g(b)\) согласовано с её пределом. Поэтому из \(f(x)\to b\) следует
\[g(f(x))\to g(b)\],
и дополнительное условие \(f(x)\ne b\) не
Замена переменной
При вычислении предела можно положить \(y=f(x)\), если из \(x\to a\) следует \(y\to b\) и выполняются условия, необходимые для предела внешней функции. После этого исходный предел становится пределом выражения \(g(y)\) при \(y\to b\). По существу, это и есть применение теоремы о пределе композиции.
Пример простыми словами
Пусть \(g(y)=1\) при \(y\ne 0\), а \(g(0)=0\). Тогда \(\lim _{y\to 0}g(y)=1\). Возьмём \(f(x)\equiv 0\). Имеем \(f(x)\to 0\), но \(g(f(x))\equiv 0\), поэтому предел композиции не равен \(1\). Этот пример показывает, зачем в общей теореме нужно условие \(f(x)\ne b\).
Частые ошибки
- Нельзя механически подставлять предел внутренней функции во внешнюю, если внешняя функция не непрерывна в предельной точке.
- Условие \(f(x)\ne b\) в общей теореме нельзя опускать без причины.
- При замене переменной нужно контролировать область определения после подстановки.
