Функции \(f\) и \(g\) эквивалентны при \(x\to a\), если \(\frac{f}{g}\to 1\). Запись \(f=o(g)\) означает \(\frac{f}{g}\to 0\), а \(f=O(g)\) — что \(|f|\le C|g|\) достаточно близко к предельной точке. Эквивалентность равносильна \(f=g(1+o(1))\) и
Что важно запомнить
- \(f\sim g\) означает одинаковую главную асимптотическую часть: \(\frac{f}{g}\to 1\).
- \(f=o(g)\) означает, что \(f\) пренебрежимо мала по сравнению с \(g\).
- \(f=O(g)\) означает лишь оценку по порядку: \(|f|\le C|g|\).
- \(f\sim g \Leftrightarrow f=g(1+o(1)) \Leftrightarrow f-g=o(g)\).
- Эквивалентные множители можно заменять в произведениях и частных при соблюдении условий определённости.
- В суммах и особенно разностях такая замена может уничтожить ведущую компенсацию.
Эквивалентные функции
Пусть рассматривается некоторый предельный переход, например \(x\to a\). Функции \(f\) и \(g\) называются эквивалентными, если
\[\frac{f(x)}{g(x)}\to 1\].
Пишут \(f\sim g\). В терминах малой \(o\)-символики это равносильно
\[f=g(1+o(1))\]
и
Символы \(o\) и \(O\)
Запись
\[f=o(g)\]
означает \(\frac{f}{g}\to 0\). То есть \(f\) становится пренебрежимо малой по сравнению с \(g\) в данном предельном переходе. Если обе функции бесконечно малы, говорят, что \(f\) имеет более высокий порядок
Запись
\[f=O(g)\]
означает, что существует \(C\gt 0\) и достаточно малая предельная окрестность, где
В частности, \(O(1)\) означает локальную ограниченность.
Основные правила
Если \(f_{1}=o(g)\) и \(f_{2}=o(g)\), то \(f_{1}+f_{2}=o(g)\). Аналогично сумма двух \(O(g)\) остаётся \(O(g)\). Произведение ограниченной функции на \(o(g)\) является
Если \(f\sim g\) и \(h\sim k\), то при корректной определённости произведения и частного можно заменять \(f\) на \(g\) и \(h\) на \(k\):
\[fh\sim gk, \frac{f}{h}\sim \frac{g}{k}\].
Для сумм и разностей общего правила замены нет. Причина — возможное сокращение главных частей.
Пример простыми словами
При \(x\to 0\) имеем \(x+x^{2}=x(1+x)\sim x\), а \(x^{2}=o(x)\). Но из \(\sin x\sim x\) нельзя заключать, что \(\sin x-x\) эквивалентно \(x-x=0\). Здесь главные части сокращаются, поэтому для разности нужен более точный порядок.
Частые ошибки
- Не путать \(f\sim g\) и \(f=O(g)\). Эквивалентность требует отношения, стремящегося к \(1\), а \(O\) даёт только оценку.
- Запись \(o\) или \(O\) всегда относится к конкретному предельному переходу.
- Нельзя автоматически заменять эквивалентные функции внутри разности, если ведущие члены сокращаются.
