При \(x\to +\infty \) логарифмы растут медленнее любых положительных степеней, а степени растут медленнее любой показательной функции с основанием \(a\gt 1: (\ln x)^{\beta }=o(x^{\alpha })\) и \(x^{\alpha }=o(a^{x})\) для фиксированных \(\alpha ,\beta \gt 0\). Обе общие формулы следуют из базового соотношения
Что важно запомнить
- Сравнение проводится при \(x\to +\infty \) и при фиксированных положительных показателях \(\alpha , \beta \).
- Для любого \(\alpha ,\beta \gt 0\) выполняется \((\ln x)^{\beta }=o(x^{\alpha })\).
- Для любого \(\alpha \gt 0\) и \(a\gt 1\) выполняется \(x^{\alpha }=o(a^{x})\).
- При \(0\lt a\lt 1\) функция \(a^{x}\) убывает к нулю быстрее любой обратной степени \(x^{-\alpha }\).
- Вывод не зависит от конкретной малой положительной степени или основания, если параметры фиксированы.
Логарифм против степени
Используем базовое соотношение
Из него получается более общее сравнение. Пусть \(\alpha ,\beta \gt 0\) и положим \(y=x^{\frac{\alpha}{\beta} }\). Тогда \(y\to \infty \) и
\[\frac{(\ln x)^{\beta }}{x^{\alpha }}=(\frac{\beta}{\alpha} )^{\beta }\cdot (\frac{\ln y}{y})^{\beta }\to 0\].
Следовательно,
\[(\ln x)^{\beta }=o(x^{\alpha })\].
Степень против экспоненты
Пусть \(a\gt 1\) и \(\alpha \gt 0\). Положим \(t=a^{\frac{x}{\alpha} }\). Тогда \(t\to \infty \),
\[x=(\frac{\alpha}{\ln a})\ln t, a^{x}=t^{\alpha }\].
Поэтому
\[\frac{x^{\alpha }}{a^{x}}=(\frac{\alpha}{\ln a})^{\alpha }\cdot (\frac{\ln t}{t})^{\alpha }\to 0\].
Значит, \(x^{\alpha }=o(a^{x})\).
Иерархия роста
Для фиксированных положительных параметров при \(x\to \infty \) имеем
\[(\ln x)^{\beta }=o(x^{\alpha }), x^{\alpha }=o(a^{x}), a\gt 1\].
Если \(0\lt a\lt 1\), то \(a^{x}=(\frac{1}{a})^{-x}\). Поэтому \(a^{x}=o(x^{-\alpha })\) для любого \(\alpha \gt 0\): экспоненциальное убывание быстрее степенного.
Пример простыми словами
При \(x\to \infty \) функции \((\ln x)^{5}, x^{0{,}01}\) и \(1{,}1^{x}\) расположены по росту именно в таком порядке: \((\ln x)^{5}=o(x^{0{,}01})\), а \(x^{0{,}01}=o(1{,}1^{x})\). На очень умеренных \(x\) численные значения могут выглядеть иначе, но асимптотический порядок от этого не меняется.
Частые ошибки
- Не сравнивать функции только по нескольким численным значениям. Речь идёт о поведении при \(x\to \infty \).
- Показатели \(\alpha , \beta \) и основание \(a\) должны быть фиксированы.
- Для показательной функции принципиально различаются случаи \(a\gt 1\) и \(0\lt a\lt 1\).
