Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность

Функция \(f:D\to \mathbb{R}\) непрерывна в точке \(a\in D\), если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(x\in D\) и \(|x-a|\lt \delta \) влекут \(|f(x)-f(a)|\lt \varepsilon \). На множестве \(D\) функция непрерывна, если непрерывна в каждой его точке. Непрерывность справа и слева определяется соответствующими односторонними пределами, равными \(f(a)\).^{1, 2}

Что важно запомнить

В определении непрерывности используется полная, а не проколотая окрестность точки.
Для предельной точки \(a\) непрерывность равносильна \(\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\).
В изолированной точке области определения любая функция непрерывна относительно этой области.
Непрерывность на множестве означает непрерывность в каждой его точке относительно данного множества.
Непрерывность справа: \(\lim _{x\to a+}f(x)=f(a)\). Непрерывность слева определяется аналогично.
На концах отрезка естественно используется соответствующая односторонняя непрерывность.

Непрерывность в точке

Пусть \(f:D\to \mathbb{R}\) и \(a\in D\). Функция непрерывна в точке \(a\) по множеству \(D\), если

\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 \forall x\in D: |x-a|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|\lt \varepsilon \].^{1, 2}

Если \(a\) является предельной точкой \(D\), это равносильно условию

\[\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\].

Есть и последовательная формулировка: для любой последовательности \(x_{n}\in D, x_{n}\to a\), должно выполняться \(f(x_{n})\to f(a)\).¹

Если \(a\) изолирована в \(D\), существует \(\delta \gt 0\) такое, что \((a-\delta ,a+\delta )\cap D=\{a\}\). Тогда из \(x\in D\) и \(|x-a|\lt \delta \) следует \(x=a\), поэтому \(|f(x)-f(a)|=0\lt \varepsilon \) для любого \(\varepsilon \gt 0\). Значит, функция автоматически непрерывна в \(a\) относительно \(D\).^{1, 2}

Непрерывность на множестве

Функция называется непрерывной на множестве \(D\), если она непрерывна в каждой точке \(D\) относительно \(D\). Параметр \(\delta \) может зависеть и от \(\varepsilon \), и от рассматриваемой точки.

Односторонняя непрерывность

Если \(a\) является предельной точкой \(D\cap (a,+\infty )\), то \(f\) непрерывна справа в \(a\), когда

\[\lim _{x\to a+}f(x)=f(a)\].

Если \(a\) является предельной точкой \(D\cap (-\infty ,a)\), то непрерывность слева означает

\[\lim _{x\to a-}f(x)=f(a)\].

Для функции на отрезке \([a,b]\) непрерывность в левом конце понимается справа, а в правом конце — слева.^{1, 2}

Пример простыми словами

Пусть \(f(x)=0\) при \(x\lt 0\) и \(f(x)=1\) при \(x\ge 0\). В точке \(0\) значение \(f(0)=1\). Правый предел также равен \(1\), поэтому функция непрерывна справа. Левый предел равен \(0\), поэтому функция не является непрерывной слева и не является непрерывной в точке \(0\) в двустороннем смысле.

Частые ошибки

Не исключать \(x=a\) в \(\varepsilon \)–\(\delta \) определении непрерывности. Это отличие от определения предела.
Нельзя говорить о непрерывности функции в точке, где она не определена.
Непрерывность на множестве не означает равномерную непрерывность на нём.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 25–27
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. Разделы «Непрерывность функции в точке» и «Функции, непрерывные на множестве», с. 62, 71