Локальные свойства непрерывных функций: сохранение знака, ограниченность, арифметические операции и композиция

Сохранение знака

Пусть \(f\) непрерывна в \(a\) и \(f(a)\gt 0\). Возьмём \(\varepsilon =\frac{f(a)}{2}\). Тогда в некоторой окрестности \(a\)

\[|f(x)-f(a)|\lt \frac{f(a)}{2}\].

Это означает \(-\frac{f(a)}{2}\lt f(x)-f(a)\lt \frac{f(a)}{2}\), поэтому \(f(x)\gt \frac{f(a)}{2}\gt 0\). Для \(f(a)\lt 0\) рассуждение аналогично.^{1, 2}

Локальная ограниченность

Выбрав в определении непрерывности \(\varepsilon =1\), получаем в некоторой окрестности

\[|f(x)|\le |f(a)|+1\].

Следовательно, непрерывная в точке функция локально ограничена.¹

Арифметические операции

Если \(f\) и \(g\) непрерывны в \(a\), то \(f+g, f-g\) и \(fg\) непрерывны в \(a\). Это следует из арифметических свойств предела и равенств \(\lim f=f(a), \lim g=g(a)\).^{1, 2}

Если \(g(a)\ne 0\), то из сохранения знака следует, что \(g(x)\) не обращается в нуль в достаточно малой окрестности \(a\). Поэтому \(\frac{f}{g}\) там определена и непрерывна в \(a\).

Композиция

Пусть \(f\) непрерывна в \(a\), а \(g\) непрерывна в точке \(f(a)\). Тогда

\(g(f(x))\to g(f(a))\) при \(x\to a\),

то есть композиция \(g\circ f\) непрерывна в \(a\).^{1, 2}