В используемой классификации разрыв устраним, если конечный двусторонний предел существует, но не равен значению функции. Разрыв первого рода возникает, когда конечные односторонние пределы существуют, но различны. Если хотя бы одного конечного одностороннего предела нет, разрыв относится ко второму роду. Монотонная функция на интервале имеет только разрывы первого рода, причём их не более чем счётное
Что важно запомнить
- Точка разрыва должна принадлежать области определения функции.
- Устранимый разрыв: общий конечный предел существует, но не совпадает с \(f(a)\).
- Разрыв первого рода: оба конечных односторонних предела существуют, но не равны друг другу.
- Разрыв второго рода: хотя бы одного конечного одностороннего предела нет.
- Бесконечный или осциллирующий односторонний предел относится ко второму роду.
- Монотонная на интервале функция может иметь только скачки первого рода и не более чем счётно много точек разрыва.
Устранимый разрыв
Если функция определена в точке \(a\), конечный предел
\[L=\lim _{x\to a}f(x)\]
существует, но \(L\ne f(a)\), то \(a\) является точкой устранимого разрыва. Достаточно изменить значение функции в одной точке, положив \(f(a)=L\), и непрерывность
Разрывы первого и второго рода
Если конечные пределы \(f(a-)\) и \(f(a+)\) существуют, но различны, то в используемой классификации это разрыв первого рода, или
Если хотя бы одного конечного одностороннего предела не существует, разрыв относится ко второму роду. Сюда входят случаи бесконечного роста и неустранимых колебаний.
Монотонные функции
Пусть \(f\) не убывает на интервале. В каждой внутренней точке \(a\) существуют конечные односторонние пределы и
Поэтому при разрыве возможен только скачок между левым и правым пределами.
Кроме того, точек разрыва не более чем счётно. Каждой точке скачка \(a\) соответствует непустой интервал \((f(a-),f(a+))\). Если \(a\lt b\) — две точки скачка неубывающей функции, то \(f(a+)\le f(b-)\). Поэтому интервалы \((f(a-),f(a+))\) и \((f(b-),f(b+))\) не пересекаются. В каждом таком интервале можно выбрать рациональное число. Разные скачки получают разные рациональные числа, а \(\mathbb{Q}\) счётно. Следовательно, множество скачков не более чем счётно. Для невозрастающей функции тот же вывод применяют к
Пример простыми словами
Устранимый разрыв: \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) при \(x\ne 0\) и \(f(0)=0\). Предел при \(x\to 0\) равен \(1\). Разрыв первого рода: \(f(x)=0\) при \(x\lt 0\) и \(f(x)=1\) при \(x\ge 0\). Разрыв второго рода: \(f(x)=\sin (\frac{1}{x})\) при \(x\ne 0\) и \(f(0)=0\), поскольку одностороннего конечного предела при \(x\to 0\) нет.
Частые ошибки
- Не относить точку вне области определения к точкам разрыва в этой классификации.
- Не путать устранимый разрыв со скачком: при устранимом разрыве двусторонний предел существует.
- У монотонной функции на интервале не бывает осциллирующих разрывов второго рода.
