Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции и метод деления отрезка пополам

Теорема о промежуточных значениях

Пусть \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\). Если число \(C\) находится между \(f(a)\) и \(f(b)\), то существует точка \(c\in [a,b]\), для которой \(f(c)=C\). Если \(C\) строго лежит между значениями на концах, точку \(c\) можно выбрать внутри \((a,b)\).^{1, 2}

Чтобы свести общий случай к поиску нуля, положим \(g(x)=f(x)-C\). Тогда \(g\) непрерывна, а \(g(a)\) и \(g(b)\) имеют разные знаки. Поэтому достаточно доказать частный случай: непрерывная функция, меняющая знак на концах отрезка, обращается в нуль внутри него.

Метод деления отрезка пополам

Предположим \(f(a)f(b)\lt 0\). Делим \([a,b]\) пополам. Если в середине \(m=\frac{(a+b)}{2}\) получено \(f(m)=0\), корень найден. Иначе одна из половин имеет значения разных знаков на концах. Эту половину обозначим \([a_{1},b_{1}]\) и повторим процедуру.^{1, 2}

Если процесс не завершился на конечном шаге, получаем вложенные отрезки

\[[a,b]\supseteq [a_{1},b_{1}]\supseteq [a_{2},b_{2}]\supseteq \ldots \]

со свойством \(f(a_{n})f(b_{n})\lt 0\) и длинами \(\frac{(b-a)}{2^{n}}\to 0\). У стягивающейся системы есть единственная общая точка \(c\). Поскольку \(a_{n}\le c\le b_{n}\) и \(b_{n}-a_{n}\to 0\), имеем \(a_{n}\to c\) и \(b_{n}\to c\). По непрерывности \(f(a_{n})\to f(c)\) и \(f(b_{n})\to f(c)\). Если бы \(f(c)\gt 0\), то оба значения при достаточно больших \(n\) были бы положительными. Если бы \(f(c)\lt 0\), оба были бы отрицательными. Оба случая противоречат \(f(a_{n})f(b_{n})\lt 0\). Следовательно, \(f(c)=0\).^{1, 2}

Точность метода

После \(n\) делений корень локализован в отрезке длины \(\frac{(b-a)}{2^{n}}\). Если в качестве приближения взять середину этого отрезка, абсолютная ошибка не превосходит половины его длины, то есть \(\frac{(b-a)}{2^{n+1}}\).