Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке

Для непрерывной функции на отрезке \([a,b]\) справедливы две теоремы Вейерштрасса. Первая утверждает, что функция ограничена на отрезке. Вторая утверждает, что она достигает своей точной нижней грани и своей точной верхней грани, то есть имеет на \([a,b]\) минимум и максимум.^{1, 2}

Что важно запомнить

Непрерывная функция на замкнутом отрезке обязательно ограничена.
Она не только имеет конечные \(\inf \) и \(\sup \), но и принимает эти значения.
Существуют \(x_{m},x_{M}\in [a,b]\), для которых \(f(x_{m})=\min f\) и \(f(x_{M})=\max f\).
Компактность отрезка является существенной частью утверждений.
На открытом интервале непрерывная функция может не достигать supremum или infimum.

Первая теорема Вейерштрасса

Если \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), то она ограничена на нём. Иными словами, существует \(C\gt 0\) такое, что \(|f(x)|\le C\) для всех \(x\in [a,b]\).^{1, 2}

Доказательство удобно провести от противного. Если \(f\) не ограничена, можно выбрать \(x_{n}\in [a,b]\) так, что \(|f(x_{n})|\gt n\). Из ограниченной последовательности \(\{x_{n}\}\) по теореме Больцано—Вейерштрасса выделяется подпоследовательность \(x_{n_{k}}\to x_{0}\in [a,b]\). Непрерывность даёт \(f(x_{n_{k}})\to f(x_{0})\), поэтому эта последовательность значений должна быть ограниченной. Но \(|f(x_{n_{k}})|\gt n_{k}\to \infty \). Получено противоречие.^{1, 2}

Вторая теорема Вейерштрасса

Если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), то существуют точки \(x_{m},x_{M}\in [a,b]\), для которых

\[f(x_{m})=\min _{x\in [a,b]}f(x), f(x_{M})=\max _{x\in [a,b]}f(x)\].^{1, 2}

Рассмотрим, например, \(M=\sup _{[a,b]}f\). Можно выбрать последовательность \(x_{n}\in [a,b]\) так, что \(f(x_{n})\to M\). Из \(\{x_{n}\}\) выделяем подпоследовательность \(x_{n_{k}}\to x_{M}\in [a,b]\). По непрерывности \(f(x_{n_{k}})\to f(x_{M})\). С другой стороны, эта же последовательность стремится к \(M\). Значит, \(f(x_{M})=M\). Для минимума рассуждение аналогично.¹

Зачем нужен замкнутый отрезок

Обе теоремы являются проявлением компактности. На некомпактном множестве непрерывность сама по себе не гарантирует ни ограниченность, ни достижение крайних значений.

Пример простыми словами

Функция \(f(x)=x\) на открытом интервале \((0,1)\) непрерывна и ограничена, но у неё нет ни максимума, ни минимума: значения сколь угодно близки к \(1\) и \(0\), однако сами точки \(1\) и \(0\) в область не входят. На замкнутом \([0,1]\) эта же функция достигает минимума \(0\) и максимума \(1\).

Частые ошибки

Формулировать вторую теорему только как существование конечных \(\sup \) и \(\inf \). Она утверждает именно достижение этих значений.
Забывать, что область должна быть замкнутым отрезком или, в более общей форме, компактом.
Считать, что точка максимума обязана быть единственной.
Путать локальный экстремум с глобальным максимумом или минимумом на всём отрезке.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 29
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 76–77