Равномерная непрерывность. Теорема Кантора и модуль непрерывности

Функция \(f\) равномерно непрерывна на \(D\), если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует одно \(\delta \gt 0\), подходящее одновременно для всех \(x,y\in D: |x-y|\lt \delta \) влечёт \(|f(x)-f(y)|\lt \varepsilon \). Теорема Кантора утверждает, что всякая непрерывная функция на компакте, в частности на отрезке, равномерно непрерывна. На отрезке модуль непрерывности \(\omega _{f}(\delta )=\sup \{|f(x)-f(y)|: |x-y|\le \delta \}\). Равномерная непрерывность равносильна \(\omega _{f}(\delta )\to 0\) при \(\delta \to 0+\).^{1, 2}

Что важно запомнить

При обычной непрерывности \(\delta \) может зависеть от точки, при равномерной — только от \(\varepsilon \).
Непрерывность на компакте влечёт равномерную непрерывность.
Модуль непрерывности измеряет максимальное изменение функции при аргументах, удалённых не более чем на \(\delta \).
\(\omega _{f}(\delta )\) не убывает по \(\delta \) и \(\omega _{f}(0)=0\).
Для непрерывной функции на отрезке \(\omega _{f}(\delta )\to 0\) при \(\delta \to 0+\).
Непрерывность на незамкнутом или неограниченном множестве сама по себе равномерной непрерывности не гарантирует.

Равномерная непрерывность

Функция \(f:D\to \mathbb{R}\) называется равномерно непрерывной на \(D\), если

\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 \forall x,y\in D: |x-y|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt \varepsilon \].^{1, 2}

Главное отличие от обычной непрерывности в том, что \(\delta \) выбирается сразу для всего множества \(D\) и не зависит от конкретной точки.

Теорема Кантора

Если функция непрерывна на компакте \(K\), то она равномерно непрерывна на \(K\). В частности, непрерывная функция на отрезке \([a,b]\) равномерно непрерывна.^{1, 2}

Докажем от противного. Если равномерной непрерывности нет, существует \(\varepsilon _{0}\gt 0\) и пары \(x_{n},y_{n}\in K\) такие, что \(|x_{n}-y_{n}|\lt \frac{1}{n}\), но \(|f(x_{n})-f(y_{n})|\ge \varepsilon _{0}\). Из \(\{x_{n}\}\) выбираем подпоследовательность \(x_{n_{k}}\to x_{0}\in K\). Тогда \(y_{n_{k}}\to x_{0}\), поскольку расстояние между соответствующими точками стремится к нулю. Непрерывность даёт \(f(x_{n_{k}})\to f(x_{0})\) и \(f(y_{n_{k}})\to f(x_{0})\), поэтому их разность должна стремиться к нулю. Это противоречит нижней оценке \(\varepsilon _{0}\).^{1, 2}

Модуль непрерывности

Для функции на отрезке определим

\[\omega _{f}(\delta )=\sup \{|f(x)-f(y)|: x,y\in [a,b], |x-y|\le \delta \}\].

Это число показывает наибольшее изменение функции при аргументах, расстояние между которыми не превосходит \(\delta \). Из определения сразу следуют \(\omega _{f}(0)=0\) и монотонность по \(\delta \). Если \(0\le \delta _{1}\le \delta _{2}\), то \(\omega _{f}(\delta _{1})\le \omega _{f}(\delta _{2})\).

Равномерная непрерывность равносильна условию \(\omega _{f}(\delta )\to 0\) при \(\delta \to 0+\). В профильном конспекте эквивалентное содержание записано через колебания функции в \(\delta \)-окрестностях: их верхняя грань по всем точкам должна стремиться к нулю.¹

Пример простыми словами

Функция \(f(x)=\sin (\frac{1}{x})\) непрерывна на \((0,1)\), но не равномерно непрерывна. Можно выбрать \(x_{n}\) и \(y_{n}\), стремящиеся к нулю и всё более близкие друг к другу, так что \(f(x_{n})=1\), а \(f(y_{n})=-1\). Тогда \(|x_{n}-y_{n}|\to 0\), но \(|f(x_{n})-f(y_{n})|=2\).

Частые ошибки

В определении равномерной непрерывности разрешать \(\delta \) зависеть от \(x\) или \(y\).
Считать любую непрерывную функцию на любом множестве равномерно непрерывной.
Путать модуль непрерывности с \(|f(x)|\) или с модулем производной.
Забывать, что supremum в определении \(\omega _{f}\) берётся по всем допустимым парам \(x,y\).
Использовать теорему Кантора без компактности области.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 32–33
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 85–87