Непрерывность элементарных функций

Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своей естественной области определения. Это следует из непрерывности основных элементарных функций и из того, что сумма, разность, произведение, частное при ненулевом знаменателе и композиция непрерывных функций сохраняют непрерывность.^{1, 2}

Что важно запомнить

Многочлены непрерывны на всей \(\mathbb{R}\).
Рациональная функция \(\frac{P}{Q}\) непрерывна там, где \(\mathbb{Q}\ne 0\).
Показательная и логарифмическая функции непрерывны на своих областях определения.
Степенные функции непрерывны на той области, где соответствующая вещественная степень определена.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции непрерывны на своих естественных областях.
Конечная композиция и допустимые арифметические операции сохраняют непрерывность.

Общий принцип

Элементарные функции строятся из простейших элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Поскольку эти операции сохраняют непрерывность при соблюдении условий определённости, всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей естественной области определения.^{1, 2}

Основные классы

Многочлен \(P(x)\) непрерывен на всей числовой прямой. Рациональная функция \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) непрерывна в каждой точке, где \(Q(x)\ne 0\).¹

Показательная функция \(a^{x}\) при \(a\gt 0\) непрерывна на \(\mathbb{R}\). При \(a\gt 0\) и \(a\ne 1\) логарифмическая функция \(\log _{a} x\) непрерывна при \(x\gt 0\). Непрерывность логарифма можно получить из теоремы о непрерывности обратной функции.^{1, 2}

Степенные функции \(x^{\alpha }\) непрерывны на своей естественной области определения. Для произвольной вещественной \(\alpha \) и \(x\gt 0\) удобно использовать представление \(x^{\alpha }=\exp (\alpha \ln x)\).¹

Функции \(\sin x\) и \(\cos x\) непрерывны на \(\mathbb{R}\). Остальные тригонометрические функции непрерывны там, где определены их выражения. Обратные тригонометрические функции также непрерывны на своих естественных областях как обратные к соответствующим строго монотонным ограничениям тригонометрических функций.¹

Сложные элементарные выражения

Если выражение получено конечным числом допустимых операций из перечисленных функций, то оно непрерывно во всякой точке, где все его части определены и знаменатели не обращаются в нуль. Поэтому при вычислении предела в такой точке можно подставлять предельное значение аргумента непосредственно в выражение.

Пример простыми словами

Функция \(f(x)=\frac{(x^{2}+1)}{(x-1)}\) является элементарной и непрерывна при всех \(x\ne 1\). В точке \(x=2\) можно сразу получить \(\lim _{x\to 2}f(x)=f(2)=5\). В точке \(x=1\) теорему о непрерывности применить нельзя, поскольку сама функция там не определена.

Частые ошибки

Говорить, что элементарная функция непрерывна на всей \(\mathbb{R}\), не учитывая её область определения.
Считать рациональную функцию непрерывной в нуле знаменателя.
Игнорировать ограничения области логарифма, корней и обратных тригонометрических функций.
Применять правило композиции, не проверив, что значения внутренней функции попадают в область определения внешней.

Другие вопросы

Источники

1 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 82–84
2 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 31–32, 38–39