Теорема об обратной функции: существование, монотонность и непрерывность обратной функции

Формулировка теоремы

Пусть \(f\) строго монотонна и непрерывна на промежутке \(I\). Тогда \(J=f(I)\) является промежутком, \(f:I\to J\) является биекцией, а обратная функция \(f^{-1}:J\to I\) строго монотонна и непрерывна.^{1, 2}

Почему обратная функция существует

Строгая монотонность означает, что разным \(x\) соответствуют разные значения \(f(x)\). Поэтому \(f\) инъективна. Если целевым множеством взять \(J=f(I)\), сюръективность выполняется по определению образа. Следовательно, \(f:I\to J\) является биекцией и имеет обратное отображение.

Монотонность обратной функции

Пусть \(f\) возрастает. Возьмём \(y_{1}\lt y_{2}\) и положим \(x_{1}=f^{-1}(y_{1}), x_{2}=f^{-1}(y_{2})\). Если бы \(x_{1}\ge x_{2}\), из возрастания \(f\) получили бы \(y_{1}=f(x_{1})\ge f(x_{2})=y_{2}\), что невозможно. Значит, \(x_{1}\lt x_{2}\) и \(f^{-1}\) возрастает. Для убывающей \(f\) рассуждение аналогично, и обратная функция тоже убывает.¹

Непрерывность обратной функции

Пусть для определённости \(f\) возрастает, \(y_{0}=f(x_{0})\), а \(x_{0}\) является внутренней точкой \(I\). Для любого \(\varepsilon \gt 0\) выберем точки \(x_{-}\) и \(x_{+}\) из \(I\) так, чтобы \(x_{0}-\varepsilon \lt x_{-}\lt x_{0}\lt x_{+}\lt x_{0}+\varepsilon \). Тогда

\[f(x_{-})\lt y_{0}\lt f(x_{+})\].

Положим \(\eta =\min \{y_{0}-f(x_{-}), f(x_{+})-y_{0}\}\). Обе величины под знаком \(\min \) положительны, поэтому \(\eta \gt 0\). Если \(y\in J\) и \(|y-y_{0}|\lt \eta \), то \(f(x_{-})\lt y\lt f(x_{+})\). Из строгого возрастания следует \(x_{-}\lt f^{-1}(y)\lt x_{+}\), а значит \(|f^{-1}(y)-x_{0}|\lt \varepsilon \). На концах промежутка используется соответствующее одностороннее рассуждение. Таким образом, \(f^{-1}\) непрерывна на \(J\).^{1, 2}