Построение множества Кантора
Начинаем с \(F_{0}=[0,1]\). Удаляем открытую среднюю треть \((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\) и получаем \(F_{1}\). Затем из каждого из двух оставшихся отрезков снова удаляем открытую среднюю треть. После \(n\) шагов \(F_{n}\) состоит из \(2^{n}\) отрезков длины \(3^{-n}\). Множество Кантора определяется как
\[C=\bigcap_{n=0}^{\infty }F_{n}\].1, 2
Основные свойства \(C\)
Множество \(C\) компактно. Оно замкнуто как пересечение замкнутых множеств и ограничено отрезком \([0,1]\). Его точки имеют троичные записи, в которых можно обойтись только цифрами \(0\) и \(2\). Это связывает \(C\) с множеством бесконечных двоичных последовательностей и показывает, что \(C\) имеет мощность континуума.1
На \(n\)-м шаге удаляются \(2^{n-1}\) интервалов длины \(3^{-n}\). Поэтому суммарная длина всех удалённых интервалов равна
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^{n-1}}{3^{n}}=\frac{(\frac{1}{3})}{(1-\frac{2}{3})}=1\].
Так как исходный отрезок \([0,1]\) имеет длину \(1\), мера множества Кантора равна нулю. При этом \(C\) несчётно. Кроме того, у \(C\) нет внутренних точек, а каждая его точка является предельной. Таким образом, \(C\) является совершенным и нигде не плотным множеством.1, 2
Функция Кантора
Для \(x\in C\) выберем троичную запись \(x=(0.a_{1}a_{2}\ldots)_{3}\), где \(a_{k}\in \{0,2\}\). Заменим каждую цифру \(a_{k}\) на \(\frac{a_{k}}{2}\in \{0,1\}\) и прочитаем полученную последовательность как двоичную дробь:
\[H(x)=\left(0.\left(\frac{a_{1}}{2}\right)\left(\frac{a_{2}}{2}\right)\ldots\right)_{2}\].
На каждом интервале, удалённом при построении \(C\), функцию продолжают постоянным значением, совпадающим со значениями на его концах. Так получается функция Кантора \(H:[0,1]\to [0,1]\). Она непрерывна, не убывает, \(H(0)=0, H(1)=1\) и принимает все значения от \(0\) до \(1\).3
Функция постоянна на каждом компоненте дополнения \([0,1]\setminus C\). Это дополнение имеет полную меру \(1\), поэтому \(H'(x)=0\) почти всюду. Тем не менее \(H\) не является постоянной. Этот пример показывает, что условие \(f'=0\) почти всюду само по себе недостаточно для заключения о постоянстве функции без дополнительных условий.3