Производная \(f'(a)\) — предел отношения приращения функции к приращению аргумента: \(f'(a)=\lim _{h\to 0}\frac{[f(a+h)-f(a)]}{h}\). В одномерном случае существование конечной производной равносильно дифференцируемости: \(f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)\). Правая и левая производные задаются пределами при \(h\to 0+\) и \(h\to 0-\). Двусторонняя производная существует тогда и только тогда, когда обе конечные односторонние производные существуют и равны. Дифференцируемость влечёт
Что важно запомнить
- Производная определяется как предел разностного отношения.
- Дифференцируемость в \(\mathbb{R}\) означает наличие главной линейной части приращения.
- \(df(a,h)=f'(a)h\).
- Правая производная использует \(h\to 0+\), левая — \(h\to 0-\).
- При наличии точек области с обеих сторон \(f'(a)\) существует тогда и только тогда, когда \(f'_{-}(a)=f'_{+}(a)\) и обе конечны.
- Дифференцируемость влечёт непрерывность, но непрерывность не влечёт дифференцируемость.
Производная
Пусть \(f\) определена в окрестности точки \(a\). Если существует конечный предел
\[f'(a)=\lim _{h\to 0}\frac{(f(a+h)-f(a))}{h}\],
то он называется производной функции в точке
Дифференцируемость
Функция дифференцируема в точке \(a\), если её приращение представимо в виде
\[f(a+h)-f(a)=Ah+\alpha (h)h, \alpha (h)\to 0\].
Линейная функция \(h\mapsto Ah\) является дифференциалом. В одномерном случае дифференцируемость равносильна существованию конечной производной, причём \(A=f'(a)\), поэтому
Односторонние производные
Если рассматриваются точки справа от \(a\), определяют
\[f'_{+}(a)=\lim _{h\to 0+}\frac{(f(a+h)-f(a))}{h}\].
Аналогично
\[f'_{-}(a)=\lim _{h\to 0-}\frac{(f(a+h)-f(a))}{h}\].
Это обычное определение производной, в котором предел заменён соответствующим односторонним пределом. Если область функции подходит к \(a\) с обеих сторон, конечная двусторонняя производная существует тогда и только тогда, когда обе односторонние производные существуют и совпадают.
Связь с непрерывностью
Если \(f\) дифференцируема в \(a\), то
\[f(a+h)-f(a)=f'(a)h+o(h)\].
При \(h\to 0\) оба слагаемых справа стремятся к нулю, поэтому \(f(a+h)-f(a)\to 0\). Следовательно, \(f(a+h)\to f(a)\), то есть \(f\) непрерывна в \(a\). Обратное утверждение
Пример простыми словами
Для \(f(x)=|x|\) в точке \(0\) имеем \(f'_{+}(0)=1\) и \(f'_{-}(0)=-1\). Функция непрерывна в нуле, но односторонние производные различны, поэтому обычной производной в нуле нет и функция там не дифференцируема.
Частые ошибки
- Подменять производную самим отношением приращений без предельного перехода.
- Считать непрерывность достаточной для дифференцируемости.
- Не различать \(h\to 0+, h\to 0-\) и двусторонний \(h\to 0\).
- Делать вывод о существовании производной только из существования одной односторонней производной.
- Считать бесконечную одностороннюю производную конечной производной в обычном определении.
