Производная \(f'(a)\) является предельным угловым коэффициентом секущих к графику \(y=f(x)\). Если \(f\) дифференцируема в \(a\), касательная в точке \((a,f(a))\) имеет уравнение \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). При \(f'(a)\ne 0\) нормаль имеет наклон \(-\frac{1}{f'(a)}: y-f(a)=-\frac{(x-a)}{f'(a)}\). Если \(f'(a)=0\), касательная горизонтальна, а нормаль вертикальна и задаётся
Что важно запомнить
- Разностное отношение \(\frac{[f(x)-f(a)]}{(x-a)}\) — угловой коэффициент секущей.
- При \(x\to a\) этот коэффициент стремится к \(f'(a)\).
- Касательная: \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
- Нормаль перпендикулярна касательной.
- При \(f'(a)\ne 0\) её коэффициент равен \(-\frac{1}{f'(a)}\).
- При \(f'(a)=0\) нормаль является вертикальной прямой \(x=a\).
Секущая и производная
Возьмём на графике точки \(M_{0}=(a,f(a))\) и \(M=(x,f(x)), x\ne a\). Угловой коэффициент секущей \(M_{0}M\) равен
\[k_{\sec }=\frac{(f(x)-f(a))}{(x-a)}\].
Если существует производная, то при \(x\to a\) имеем \(k_{\sec }\to f'(a)\). Поэтому касательная является предельным положением
Касательная
Из дифференцируемости
\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)\]
следует, что график функции около точки \(a\) отличается от прямой
\[y=f(a)+f'(a)(x-a)\]
на величину более высокого порядка, чем \(|x-a|\). Эта прямая и есть
Нормаль
Нормаль проходит через ту же точку \((a,f(a))\) и перпендикулярна касательной. Если \(f'(a)\ne 0\), произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно \(-1\), поэтому
Если \(f'(a)=0\), касательная горизонтальна. В этом случае нормаль вертикальна и её уравнение имеет вид \(x=a\).
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x^{2}\) в точке \(a=1\) имеем \(f(1)=1\) и \(f'(1)=2\). Касательная: \(y-1=2(x-1)\), то есть \(y=2x-1\). Нормаль: \(y-1=-(\frac{1}{2})(x-1)\).
Частые ошибки
- Использовать значение \(f'(a)\) как свободный член уравнения касательной, а не как её наклон.
- Забывать, что и касательная, и нормаль проходят через точку \((a,f(a))\).
- Писать формулу \(-\frac{1}{f'(a)}\) для нормали при \(f'(a)=0\).
- Путать секущую с касательной: секущая проходит через две точки графика, касательная возникает как предельное положение.
