Если \(f\) дифференцируема в точке \(a\), то приращение имеет вид \(\Delta f=f(a+h)-f(a)=f'(a)h+o(h)\). Главная линейная часть \(\Delta f\) называется дифференциалом: \(df=f'(a)h\). Поэтому при малом \(h\) функцию можно заменить её линеаризацией \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) и использовать приближение \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\). Ошибка этого приближения имеет порядок
Что важно запомнить
- Дифференциал — главная линейная часть приращения функции.
- При \(\Delta x=h\) имеем \(df=f'(a)h\).
- \(\Delta f=df+o(h)\).
- Линеаризация в точке \(a: L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\).
- Для малого \(h: f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
- Дифференциал обычно не равен точному приращению функции. Разность между ними является \(o(h)\).
Дифференциал
Дифференцируемость функции в точке \(a\) означает представление
Величина \(f'(a)h\) является главной линейной частью приращения и называется дифференциалом функции:
\[df(a,h)=f'(a)h\].
Если независимое приращение аргумента обозначить \(dx=h\), то привычная запись имеет вид
Линеаризация
Функцию
\[L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]
называют линейным приближением, или линеаризацией, \(f\) около точки \(a\). Геометрически её график совпадает с касательной к графику \(f\) в точке \((a,f(a))\).
Из определения следует
\[f(x)=L(x)+o(x-a), x\to a\].
Это означает, что ошибка линейного приближения мала по сравнению с
Приближённые вычисления
Если \(h\) мало, член \(o(h)\) можно отбросить в первом приближении:
\[f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\].
Так дифференциал позволяет быстро оценивать изменения функции. Важно помнить, что это приближение, а не точное равенство, если функция сама не линейна.
Пример простыми словами
Оценим \(3{,}02^{2}\). Берём \(f(x)=x^{2}, a=3, h=0{,}02\). Тогда \(f(3)=9, f'(3)=6\) и \(df=6\cdot 0{,}02=0{,}12\). Получаем \(3{,}02^{2}\approx 9{,}12\). Точное значение равно \(9{,}1204\), так что ошибка линейного приближения составляет \(0{,}0004\).
Частые ошибки
- Считать \(df\) и \(\Delta f\) всегда равными.
- Забывать, что линеаризация строится в конкретной точке \(a\).
- Использовать приближение при большом \(h\) без оценки его разумности.
- Терять множитель \(h\) в формуле \(df=f'(a)h\).
- Называть \(o(h)\) фиксированной числовой погрешностью. Это асимптотическое обозначение при \(h\to 0\).
