Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

Если функции \(u\) и \(v\) дифференцируемы в точке \(x\), то их сумма, разность и произведение также дифференцируемы. Выполняются формулы \((u\pm v)'=u'\pm v'\) и \((uv)'=u'v+uv'\). Если \(v(x)\ne 0\), то частное \(\frac{u}{v}\) дифференцируемо и \((\frac{u}{v})'=\frac{(u'v-uv')}{v^{2}}\).^{1, 2}

Что важно запомнить

Дифференцирование линейно: \((\alpha u+\beta v)'=\alpha u'+\beta v'\).
Производная произведения содержит два слагаемых: \((uv)'=u'v+uv'\).
Для частного нужно \(v(x)\ne 0\).
\((\frac{u}{v})'=\frac{(u'v-uv')}{v^{2}}\).
Формулы относятся к точке, где исходные функции дифференцируемы.
Нельзя получать производную произведения как \(u'v'\).

Сумма и разность

Пусть \(u\) и \(v\) дифференцируемы в точке \(x\). Из линейности предела сразу получаем

\[(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x), (u-v)'(x)=u'(x)-v'(x)\].

В частности, для постоянных \(\alpha ,\beta \) выполняется \((\alpha u+\beta v)'=\alpha u'+\beta v'\).^{1, 2}

Произведение

Рассмотрим приращение при \(h\to 0\):

\[\begin{aligned}u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)&=[u(x+h)-u(x)]v(x+h)\\&\quad+u(x)[v(x+h)-v(x)].\end{aligned}\]

Делим на \(h\) и переходим к пределу. Дифференцируемость \(v\) влечёт её непрерывность, поэтому \(v(x+h)\to v(x)\). Получаем

\[(uv)'=u'v+uv'\].^{1, 2}

Частное

Пусть дополнительно \(v(x)\ne 0\). По непрерывности \(v\) не обращается в нуль в некоторой окрестности \(x\), поэтому частное определено там. Разность частных можно привести к общему знаменателю, разделить на \(h\) и перейти к пределу. В результате

\[(\frac{u}{v})'=\frac{(u'v-uv')}{v^{2}}\].^{1, 2}

Условие \(v(x)\ne 0\) принципиально: без него само значение \(\frac{u(x)}{v(x)}\) в рассматриваемой точке не определено.

Пример простыми словами

Пусть \(f(x)=\frac{(x^{2}+1)}{(x-1)}\). Тогда при \(x\ne 1\) имеем \(f'(x)=\frac{[2x(x-1)-(x^{2}+1)]}{(x-1)^{2}}=\frac{(x^{2}-2x-1)}{(x-1)^{2}}\).

Частые ошибки

Писать \((uv)'=u'v'\).
Забывать второе слагаемое в правиле произведения.
Менять порядок членов в числителе формулы частного и получать противоположный знак.
Не проверять условие \(v(x)\ne 0\).
Применять правила к функции, которая не дифференцируема в рассматриваемой точке.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 37–38
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 93, 95–96