Производная сложной функции. Правило цепочки

Пусть \(u=g(x)\), а \(y=f(u)\). Если \(g\) дифференцируема в точке \(a\), а \(f\) дифференцируема в точке \(g(a)\), то сложная функция \(f\circ g\) дифференцируема в \(a\) и

\[(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a)\].

Иными словами, сначала берут производную внешней функции по её аргументу, затем умножают на производную внутренней функции. В дифференциалах это записывается как \(dy=f'(u)du\).^{1, 2}

Что важно запомнить

Для \(y=f(g(x))\) действует формула \(y'=f'(g(x))g'(x)\).
Производную внешней функции вычисляют в точке \(u=g(x)\).
Для нескольких вложенных функций правило цепочки применяется последовательно к каждому уровню.
Дифференциальная запись \(dy=f'(u)du\) согласуется с правилом цепочки.
Нельзя забывать множитель \(g'(x)\), возникающий от внутренней функции.

Формулировка правила цепочки

Пусть \(u=g(x)\), а \(y=f(u)\). Если \(g\) дифференцируема в точке \(a\) и \(f\) дифференцируема в точке \(u_{0}=g(a)\), то композиция \(y=f(g(x))\) дифференцируема в \(a\) и

\[(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a)\].^{1, 2}

В текущей точке \(x\) формулу обычно записывают как \(y'=f'(g(x))g'(x)\).

Почему появляется производная внутренней функции

Положим \(\Delta u=g(a+h)-g(a)\). Из дифференцируемости \(g\) следует

\(\Delta u=g'(a)h+\alpha (h)h\), где \(\alpha (h)\to 0\) при \(h\to 0\).

Из дифференцируемости \(f\) в точке \(g(a)\) получаем

\(f(g(a)+\Delta u)-f(g(a))=f'(g(a))\Delta u+\beta (\Delta u)\Delta u\), где \(\beta (s)\to 0\) при \(s\to 0\). При необходимости полагаем \(\beta (0)=0\), поэтому запись остаётся верной и для тех \(h\), при которых \(\Delta u=0\).

Делим приращение композиции на \(h\) и подставляем выражение для \(\Delta u\):

\[\frac{[f(g(a+h))-f(g(a))]}{h}=[f'(g(a))+\beta (\Delta u)]\cdot [g'(a)+\alpha (h)]\].

При \(h\to 0\) имеем \(\Delta u\to 0\), поэтому правая часть стремится к \(f'(g(a))g'(a)\). Это и доказывает правило цепочки.

Дифференциальная форма

Если \(y=f(u), u=g(x)\), то \(dy=f'(u)du\), а \(du=g'(x)dx\). Поэтому

\[dy=f'(g(x))g'(x)dx\].

Это та же формула цепочки, записанная через дифференциалы.^{1, 2}

Пример простыми словами

Для \(y=\sin (x^{2})\) внешняя функция равна \(\sin u\), а внутренняя \(u=x^{2}\). Поэтому \(y'=\cos (x^{2})\cdot 2x=2x \cos (x^{2})\).

Частые ошибки

Дифференцировать только внешнюю функцию и забывать множитель \(g'(x)\).
Подставлять \(x\) вместо \(g(x)\) в производную внешней функции.
Для трёх и более вложенных функций применять правило только к одному уровню.
Использовать формулу в точке, где одна из участвующих функций не дифференцируема.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 38–39
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 95–98