Производная обратной функции

Пусть \(f\) непрерывна и строго монотонна на интервале \(I\), поэтому имеет обратную функцию \(f^{-1}\) на \(J=f(I)\). Если \(f\) дифференцируема в точке \(a\in I\) и \(f'(a)\ne 0\), то \(f^{-1}\) дифференцируема в точке \(y_{0}=f(a)\), причём

\[(f^{-1})'(y_{0})=\frac{1}{f'(a)}\].

Более общая запись имеет вид \((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\), но она применяется в тех точках \(y\), для которых \(f\) дифференцируема при \(x=f^{-1}(y)\) и \(f'(x)\ne 0\).^{1, 2}

Что важно запомнить

Обратная функция должна существовать и быть однозначной. В стандартной теореме это обеспечивает строгая монотонность.
В точке \(y_{0}=f(a)\) формула имеет вид \((f^{-1})'(y_{0})=\frac{1}{f'(a)}\).
Общую запись \((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\) можно использовать только там, где производная исходной функции в соответствующей точке существует и не равна нулю.
\(f^{-1}\) не означает \(\frac{1}{f}\).
Непрерывность обратной функции нужна в доказательстве для перехода \(y\to f(a)\) к \(x=f^{-1}(y)\to a\).

Теорема о производной обратной функции

Пусть \(f\) непрерывна и строго монотонна на интервале \(I\) и отображает \(I\) на \(J=f(I)\). Пусть \(f\) дифференцируема в точке \(a\in I\) и \(f'(a)\ne 0\). Тогда обратная функция \(f^{-1}\) дифференцируема в точке \(y_{0}=f(a)\) и

\[(f^{-1})'(y_{0})=\frac{1}{f'(a)}\].^{1, 2}

Если рассматривать произвольную точку \(y\in J\) и положить \(x=f^{-1}(y)\), то при выполнении тех же локальных условий в точке \(x\) получаем

\[(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\].

Эта формула не утверждает дифференцируемость обратной функции сразу во всех точках \(J\). Для каждой точки нужно, чтобы исходная функция была там дифференцируема и её производная не обращалась в нуль.

Доказательство

Пусть \(y\to y_{0}=f(a)\) и \(x=f^{-1}(y)\). Непрерывность обратной функции даёт \(x\to a\). Тогда

\[\frac{[f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})]}{(y-y_{0})}=\frac{(x-a)}{(f(x)-f(a))}\].

Правая часть является величиной, обратной разностному отношению функции \(f\). При \(x\to a\) это отношение стремится к \(f'(a)\), причём \(f'(a)\ne 0\). Поэтому предел существует и равен \(\frac{1}{f'(a)}\).^{1, 2}

Связь с правилом цепочки

После того как дифференцируемость обратной функции уже установлена, можно применить правило цепочки к тождеству \(f(f^{-1}(y))=y\). В точке, где выполняются условия теоремы, получаем

\[f'(f^{-1}(y))(f^{-1})'(y)=1\],

откуда снова следует формула \((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\).

Пример простыми словами

Функция \(\exp x\) строго возрастает на \(\mathbb{R}\) и имеет обратную функцию \(\ln x\). Так как \((\exp x)'=\exp x\), то при \(y\gt 0\) получаем \((\ln y)'=\frac{1}{\exp (\ln y)}=\frac{1}{y}\).

Частые ошибки

Путать \(f^{-1}(x)\) с \(\frac{1}{f(x)}\).
Писать \((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(y)}\) вместо \(\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\).
Не проверять условие \(f'(a)\ne 0\).
Пытаться говорить об обратной функции без однозначности исходного отображения на выбранном промежутке.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 38–39
2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу Том I. Механико-математический факультет МГУ, 2011 г. С. 98–99