Условия формулы
Пусть
\[x=\varphi (t), y=\psi (t)\].
Вообще говоря, произвольная пара таких функций ещё не обязана задавать однозначную функцию \(y(x)\). Чтобы говорить именно о производной \(y\) по \(x\), в рассматриваемой окрестности одному значению \(x\) должно соответствовать одно значение \(y\).1
Пусть это условие выполнено около \(t_{0}\), функции \(\varphi \) и \(\psi \) дифференцируемы в \(t_{0}\) и \(\varphi '(t_{0})\ne 0\). Тогда
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi '(t_{0})}{\varphi '(t_{0})}\].
Вывод через отношение приращений
Обозначим \(x_{0}=\varphi (t_{0}), y_{0}=\psi (t_{0})\). При \(t\to t_{0}\) имеем
\[\begin{aligned}\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}&=\frac{\psi(t)-\psi(t_{0})}{\varphi(t)-\varphi(t_{0})}\\&=\frac{\dfrac{\psi(t)-\psi(t_{0})}{t-t_{0}}}{\dfrac{\varphi(t)-\varphi(t_{0})}{t-t_{0}}}.\end{aligned}\]
Числитель последнего отношения стремится к \(\psi '(t_{0})\), а знаменатель — к \(\varphi '(t_{0})\ne 0\). Поэтому предел существует и равен \(\frac{\psi '(t_{0})}{\varphi '(t_{0})}\). Это и есть производная \(y\) по \(x\).1
Связь с обратной функцией
Если \(x=\varphi (t)\) локально обратима, можно записать \(t=t(x)\) и \(y=\psi (t(x))\). Тогда правило цепочки и формула для производной обратной функции дают
\[\frac{dy}{dx}=\psi '(t)\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}\].1, 2
Случай \(\frac{dx}{dt}=0\)
Если \(\varphi '(t_{0})=0\), делить на \(\frac{dx}{dt}\) нельзя. При \(\psi '(t_{0})\ne 0\) касательная к регулярной параметрической кривой имеет вертикальное направление. Если обе производные равны нулю, направление касательной требует отдельного исследования.