Логарифмическое дифференцирование удобно применять там, где \(y=f(x)\) не обращается в ноль. В общем виде рассматривают \(\ln |y|\) и после дифференцирования получают \(\frac{y'}{y}=(\ln |f(x)|)'\). Если \(f(x)\gt 0\), можно писать \(\ln y\). Для вещественной функции \(y=u(x)^{v(x)}\) при \(u(x)\gt 0\) получается
Что важно запомнить
- При \(y\ne 0\) логарифмическую производную удобно записывать как \(\frac{y'}{y}=(\ln |y|)'\).
- Если \(y\gt 0\), знаки модуля можно опустить и работать с \(\ln y\).
- После нахождения \(\frac{y'}{y}\) нужно умножить результат на исходную функцию \(y\).
- Для вещественной функции \(y=u(x)^{v(x)}\) стандартная формула через логарифм требует \(u(x)\gt 0\).
- Метод особенно удобен для степенно-показательных функций, произведений и частных.
Суть метода
Пусть \(y=f(x)\) не обращается в ноль в рассматриваемой окрестности. Тогда можно логарифмировать модуль функции:
\[\ln |y|=\ln |f(x)|\].
После дифференцирования и применения правила цепочки получаем
\[\frac{y'}{y}=(\ln |f(x)|)'\].
Следовательно,
Если \(f(x)\gt 0\), знаки модуля можно убрать и использовать более привычную запись \(\ln y\).
Степенно-показательная функция
Пусть \(y=u(x)^{v(x)}\) и \(u(x)\gt 0\). Тогда
\[\ln y=v(x)\ln u(x)\].
Дифференцируем обе части. По правилу цепочки \((\ln y)'=\frac{y'}{y}\), а по правилу произведения
\[\frac{y'}{y}=v'\ln u+v\cdot \frac{u'}{u}\].
Поэтому
\[y'=u^{v}[v'\ln u+v\cdot \frac{u'}{u}]\].
Условие \(u\gt 0\) существенно для этой вещественной формулы, поскольку используется вещественный логарифм. Метод особенно полезен для степенно-показательных функций, а также для громоздких произведений и
Пример простыми словами
Для \(y=x^{x}\) при \(x\gt 0\) имеем \(\ln y=x \ln x\). Тогда \(\frac{y'}{y}=\ln x+1\), поэтому \(y'=x^{x}(\ln x+1)\).
Частые ошибки
- Логарифмировать функцию, не проверив область, где выбранный вещественный логарифм определён.
- После нахождения \(\frac{y'}{y}\) забывать умножить результат на \(y\).
- Дифференцировать \(x^{x}\) как обычную степенную функцию \(x^{n}\) с постоянным показателем.
- Использовать ложное равенство \(\ln (u+v)=\ln u+\ln v\).
