Производные высших порядков определяют последовательно. Вторая производная равна \(f''=(f')'\), а в общем случае \(f^{(n)}=(f^{(n-1)})'\). Высшие дифференциалы также вводятся рекурсивно: \(d^{n} y=d(d^{n-1}y)\). Если \(x\) является независимой переменной, то
\[d^{n} y=f^{(n)}(x)(dx)^{n}\].
Для произведения функций действует формула Лейбница
Что важно запомнить
- \(f^{(n)}\) означает \(n\)-ю производную, а не \(n\)-ю степень функции.
- Производные и дифференциалы высших порядков вводятся рекурсивно.
- При независимой переменной \(x\) выполняется \(d^{n} y=f^{(n)}(x)(dx)^{n}\).
- Формула Лейбница является аналогом бинома Ньютона для \(n\)-й производной произведения.
- В сумме Лейбница обязательно присутствуют биномиальные коэффициенты \(C_{n}^{k}\).
- В отличие от первого дифференциала, форма высших дифференциалов в общем случае не инвариантна при нелинейной замене переменной.
Производные высших порядков
Если \(f'\) определена в окрестности точки и сама дифференцируема, то её производная называется второй производной \(f''\). Дальше определение продолжают рекурсивно:
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал второго порядка определяется как дифференциал первого дифференциала, а в общем случае
\[d^{n} y=d(d^{n-1}y)\].
Если \(x\) является независимой переменной и \(dx\) при последовательном дифференцировании рассматривается как постоянная величина, то
\[dy=f'(x)dx\],
\[d^{2}y=f''(x)(dx)^{2}\],
\[\ldots \]
Если же \(x\) сама является нелинейной функцией другого параметра, уже для второго дифференциала возникают дополнительные слагаемые. Поэтому инвариантность формы, характерная для первого дифференциала, на высшие порядки в общем случае не
Формула Лейбница
Если \(u\) и \(v\) имеют производные до порядка \(n\), то
Формула доказывается индукцией по \(n\). При переходе от \(n\) к \(n+1\) каждое слагаемое дифференцируется по правилу произведения, а соседние коэффициенты объединяются по тождеству \(C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\).
Пример простыми словами
Для \(y=x^{2}e^{x}\) формула Лейбница особенно удобна, потому что производные \(x^{2}\) выше второго порядка равны нулю. Получаем \(y^{(n)}=e^{x}[x^{2}+2nx+n(n-1)]\).
Частые ошибки
- Путать \(f^{(n)}\) с \((f(x))^{n}\).
- Забывать биномиальные коэффициенты в формуле Лейбница.
- Считать, что в сумме Лейбница дифференцируется только один множитель.
- Автоматически использовать \(d^{2}y=f''(x)(dx)^{2}\), когда \(x\) сама является нелинейной функцией другого параметра.
