По теореме Ферма, если функция имеет локальный экстремум во внутренней точке \(a\) и дифференцируема в \(a\), то \(f'(a)=0\).
По теореме Ролля, если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), дифференцируема на \((a,b)\) и \(f(a)=f(b)\), то существует \(c\in (a,b)\), для которого \(f'(c)=0\). Теорема Ролля выводится из теоремы Вейерштрасса и теоремы
Что важно запомнить
- Условие \(f'(a)=0\) по Ферма является необходимым для внутреннего дифференцируемого экстремума, но не достаточным.
- Теорема Ферма относится к внутренней точке области.
- Для Ролля нужны непрерывность на \([a,b]\), дифференцируемость на \((a,b)\) и равенство \(f(a)=f(b)\).
- Теорема Ролля гарантирует хотя бы одну внутреннюю точку \(c\) с \(f'(c)=0\).
- Теорема Ролля является базой для теорем Лагранжа и Коши.
Теорема Ферма
Пусть \(a\) является внутренней точкой области определения \(f\). Если в \(a\) функция имеет локальный максимум или минимум и существует конечная производная \(f'(a)\), то
Для максимума при \(x\lt a\) достаточно близких к \(a\) разностное отношение \(\frac{[f(x)-f(a)]}{(x-a)}\) неотрицательно, а при \(x\gt a\) оно неположительно. Если двусторонний предел существует, он одновременно должен быть \(\ge 0\) и \(\le 0\). Поэтому он равен нулю. Для минимума рассуждение аналогично.
Теорема Ролля
Пусть \(f\) непрерывна на \([a,b]\), дифференцируема на \((a,b)\) и \(f(a)=f(b)\). Тогда существует \(c\in (a,b)\), такое что
По теореме Вейерштрасса \(f\) достигает на отрезке максимума и минимума. Если они совпадают, функция постоянна и производная равна нулю во всех внутренних точках. Если максимум и минимум различны, хотя бы один из них достигается внутри \((a,b)\), поскольку значения на концах равны. В этой внутренней точке по теореме Ферма производная равна нулю.
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x^{2}-1\) на отрезке \([-1,1]\) имеем \(f(-1)=f(1)=0\). Функция непрерывна и дифференцируема, поэтому по Роллю существует \(c\in (-1,1)\) с \(f'(c)=0\). Здесь \(f'(x)=2x\), и подходящая точка \(c=0\).
Частые ошибки
- Считать условие \(f'(a)=0\) достаточным для экстремума. Например, у \(x^{3}\) в нуле производная равна нулю, но экстремума нет.
- Применять теорему Ферма к граничной точке как к внутренней.
- Использовать теорему Ролля без условия \(f(a)=f(b)\).
- Забывать непрерывность на всём замкнутом отрезке или дифференцируемость во всех внутренних точках.
