Если \(f\) непрерывна на \([a,b]\) и дифференцируема на \((a,b)\), то по теореме Лагранжа существует \(c\in (a,b)\), для которого
\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\].
Если \(f\) и \(g\) непрерывны на \([a,b]\) и дифференцируемы на \((a,b)\), то теорема Коши гарантирует \(c\in (a,b)\), для которого
\[(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)\].
Перекрёстная форма не требует деления. Если дополнительно \(g'(x)\ne 0\) для всех \(x\in (a,b)\), её можно записать как равенство отношений конечных приращений и
Что важно запомнить
- Лагранж связывает среднюю скорость изменения функции на отрезке с производной в некоторой внутренней точке.
- Формула Лагранжа имеет вид \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\).
- Теорема Коши надёжнее всего записывается в перекрёстной форме без деления.
- Для перехода к отношению обычно предполагают \(g'(x)\ne 0\) на всём интервале \((a,b)\). Тогда \(g(b)\ne g(a)\) и знаменатели не обращаются в нуль.
- Теорема Лагранжа получается из Коши при \(g(x)=x\).
Теорема Лагранжа
Если \(f\) непрерывна на \([a,b]\) и дифференцируема на \((a,b)\), то существует \(c\in (a,b)\), такое что
Геометрически это означает, что на графике найдётся точка, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей \((a,f(a))\) и \((b,f(b))\). Для доказательства из \(f\) вычитают линейную функцию, график которой является этой хордой, и применяют теорему Ролля.
Теорема Коши
Если \(f\) и \(g\) непрерывны на \([a,b]\) и дифференцируемы на \((a,b)\), то существует \(c\in (a,b)\), для которого
Рассмотрим вспомогательную функцию
\[F(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)\].
Действительно, \(F(b)-F(a)=(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(b)-f(a))=0\), поэтому \(F(a)=F(b)\). По теореме Ролля найдётся \(c\in (a,b)\), где \(F'(c)=0\). Это равенство и даёт формулу Коши.
Форма в виде отношения
Перекрёстная запись является основной, потому что в ней не нужно заранее делить на неизвестные величины. Если дополнительно \(g'(x)\ne 0\) для всех \(x\in (a,b)\), то из теоремы Ролля следует \(g(b)\ne g(a)\). Для точки \(c\) из теоремы Коши также \(g'(c)\ne 0\), поэтому можно разделить равенство и получить
При \(g(x)=x\) теорема Коши превращается в теорему Лагранжа.
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x^{2}\) на \([a,b]\) теорема Лагранжа даёт \(b^{2}-a^{2}=2c(b-a)\). При \(a\ne b\) получаем \(c=\frac{(a+b)}{2}\), и эта точка действительно лежит между \(a\) и \(b\).
Частые ошибки
- Предположение, что точка \(c\) заранее известна или обязана быть единственной. Теорема гарантирует только существование подходящей точки.
- Пропуск непрерывности на \([a,b]\) или дифференцируемости на \((a,b)\).
- Переход к форме отношения в теореме Коши без условий, гарантирующих ненулевые знаменатели.
- Смешение теоремы Коши о конечных приращениях с критериями Коши для пределов и сходимости.
