Формулировка
Здесь рассматривается дифференциальная теорема Бонне из семейства теорем о конечных приращениях, а не одноимённая интегральная формула.1
Пусть функции \(f, g\) и \(h\) непрерывны на \([a,b]\) и дифференцируемы на \((a,b)\). Тогда существует точка \(c\in (a,b)\), такая что
\[\begin{vmatrix}f'(c)&g'(c)&h'(c)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}=0\].1
Эта формула Бонне является обобщением теоремы Коши о конечных приращениях.1
Доказательство через теорему Ролля
Рассмотрим функцию
\[\Phi (x)=\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}\].
При \(x=a\) первая и вторая строки определителя совпадают, поэтому \(\Phi (a)=0\). При \(x=b\) совпадают первая и третья строки, поэтому \(\Phi (b)=0\).
Функция \(\Phi \) непрерывна на \([a,b]\) и дифференцируема на \((a,b)\). По теореме Ролля существует \(c\in (a,b)\), для которого \(\Phi '(c)=0\). При дифференцировании меняется только первая строка определителя. Поэтому условие \(\Phi '(c)=0\) в точности даёт формулу Бонне.1
Связь с теоремой Коши
Положим \(h(x)\equiv 1\). Тогда \(h'(x)=0\). Раскрывая определитель по третьему столбцу, получаем
\[(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)\].
Это теорема Коши о конечных приращениях. Таким образом, формула Коши является частным случаем формулы Бонне.1