Форма \(\frac{0}{0}\)
Пусть \(f\) и \(g\) дифференцируемы в проколотой окрестности точки \(a\). Предположим, что \(g(x)\ne 0\) и \(g'(x)\ne 0\) в этой окрестности и
\[f(x)\to 0, g(x)\to 0\]
при \(x\to a\) с нужной стороны или двусторонне. Если существует предел
\[\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}=L\],
где \(L\) может быть конечным или бесконечным, то
\[\lim \frac{f(x)}{g(x)}=L\].1, 2
Для формы \(\frac{0}{0}\) при конечной точке \(a\) доказательство можно получить прямо из теоремы Коши. Доопределим \(f(a)=g(a)=0\). Нулевые пределы обеспечивают непрерывность этих продолжений в \(a\). Для \(x\), близкого к \(a\), теорема Коши на отрезке с концами \(a\) и \(x\) даёт точку \(\xi _{x}\) между \(a\) и \(x\) такую, что
\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}\].
При \(x\to a\) также \(\xi _{x}\to a\), поэтому правая часть стремится к \(L\). Это доказывает правило для формы \(\frac{0}{0}\).1, 2
Форма \(\frac{\infty}{\infty} \)
Пусть при \(x\to a\) выполняются \(|f(x)|\to \infty \) и \(|g(x)|\to \infty \). При тех же условиях дифференцируемости и ненулевого знаменателя, если предел \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) существует в расширенном смысле, то предел \(\frac{f(x)}{g(x)}\) совпадает с ним.1, 2
Другие неопределённости
Правило нельзя применять к ним напрямую. Произведение \(0\cdot \infty \) переписывают как частное. Разность \(\infty -\infty \) преобразуют алгебраически. Для степенных форм \(1^{\infty }, 0^{0}\) и \(\infty ^{0}\) обычно логарифмируют выражение, после чего исследуют получившееся произведение или частное.
Если после одного применения снова возникает \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty} \), правило можно применить повторно. Условия при этом проверяют заново.
Аналогичные формулировки используются для односторонних пределов и пределов при \(x\to \pm \infty \).1, 2